Question

12．如图，一根不可伸长的轻细绳穿过光滑小环D，绕过轻质光滑定滑轮O，一端与放在光滑斜面上的物块m₁连接，另一端与穿在光滑水平细杆上的小球m₂连接，m₂左端通过水平细线固定在竖直墙壁上，整个装置在同一竖直平面内．当m₂静止在A点时，轻细绳与水平面的夹角为30°，D、A间的距离为1.2m．已知斜面倾角θ=37°，m₁=2kg，m₂=1kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²，细杆、斜面足够长．试求：
（1）若将与m₂相连的水平细线剪断，小球运动的最大速度的大小
（2）将水平细线剪断后，物块m₁从B点沿斜面运动0.4m到C点时速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球速度最大时，正好在D点正下方，由机械能守恒定律列方程求解；
（2）由速度的合成与分解得到两个物块速度的关系，对系统由机械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）小球速度最大时，正好在D点正下方，m₁速度为零，对系统由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{m}}^{2}={m}_{1}g（\overline{AD}-\overline{AD}sinα）sinθ$
代入数据得：${v}_{m}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$m/s 
（2）设物块运动到C时，小球运动到E，此时绳与细杆间的夹角为β，由数学知识可知
$sinβ=\frac{\overline{AD}sinα}{\overline{AD}-\overline{BC}}$，（sinβ）²=（cosβ）²=1，$cosβ=\frac{\sqrt{7}}{4}$
m₁从B滑到C的速度为v₁．由系统由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{1}g\overline{BC}sinθ$
由速度分解知识可得：v₁=v₂cosβ
联立以上各式并代入数据得：${v}_{1}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$m/s
答：（1）若将与m₂相连的水平细线剪断，小球运动的最大速度的大小为$\frac{6\sqrt{10}}{5}m/s$
（2）将水平细线剪断后，物块m₁从B点沿斜面运动0.4m到C点时速度的大小为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$m/s．

点评 解决“绳（杆）端速度分解模型”问题时应把握以下两点：
（1）确定合速度，它应是m₂的实际速度；
（2）m₂运动引起了两个效果：一是左边绳子的缩短，二是绳绕滑轮的转动．应根据实际效果进行运动的分解