Question

5．如图所示，空间存在一理想足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现将质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射到该磁场中．不计粒子的重力．
（1）若粒子以一定初速度沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求该初速度v₀的大小．
（2）若粒子以2v₀的初速度沿某方向入射，恰好经过A（a，0）点，求粒子从O点到A点的时间t．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，定出轨迹半径，根据洛伦兹力等于向心力，列式可求出初速度v₀的大小．
（2）根据数学知识画出粒子的运动轨迹，求出轨迹对应的圆心角，即可求得时间．

解答 解：（1）带电粒子以初速度v₀沿y轴正方向入射后，在磁场中做匀速圆周运动，刚好转过半周到达x轴上的A点，设此时的轨道半径为R₁，则有：R₁=$\frac{a}{2}$a       ①
由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
  qBv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$  ②
由①②式联立解得：v₀=$\frac{qBa}{2m}$．
（2）如图所示，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x=$\frac{a}{2}$的直线上，根据第一问可知：其半径为a．
  当给定一个初速率为2v₀时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有：
  sinθ′=sinθ=$\frac{1}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$
根据洛伦兹力提供向心力和周期公式，可得
 T=$\frac{2πm}{qB}$
$\frac{2π}{T}$=$\frac{α}{t}$
可知：①轨迹圆所对应的圆心角 α=2θ=$\frac{π}{3}$
代入得：t₀=$\frac{2mθ}{qB}$=$\frac{mπ}{3qB}$
②轨迹圆所对应的圆心角 α′=2π-2θ=$\frac{5π}{3}$
代入得：t₀=$\frac{2mπ-2mθ}{qB}$=$\frac{5mπ}{3qB}$
答：
（1）该初速度v₀的大小为$\frac{qBa}{2m}$．
（2）粒子从O点到A点的时间t为$\frac{mπ}{3qB}$或$\frac{5mπ}{3qB}$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键要画出粒子的运动轨迹，考虑问题要全面．