Question

一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V₀．则A球在最低点受到的向心力的大小为

m1

v02

R

，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与V₀应满足的关系式是

（m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0

．

Answer 1

分析：根据向心力的公式求出A球在最低点受到的向心力大小．A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，即A、B两球对轨道的压力大小相等，方向相反．结合机械能守恒定律和牛顿第二定律求出m₁、m₂、R与V₀应满足的关系式．

解答：解：A球在最低点受到的向心力的大小为m1

v02

R

A球运动到最低点时速度为V₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得N₁-m₁g=m1

v02

R

①
这时B球位于最高点，设速度为V₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用．球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂ ②，且N₂方向一定向下，
   对B球：N₂+m₂g=m2

v12

R

   ③
B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒定律，得：

1

2

m2v12+m2g?2R=

1

2

m2v02  ④
 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：
　 （m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0 ⑤
故答案为：m1

v02

R

，（m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，是道好题．