Question

6．如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（导轨其余导体部分的电阻都忽略不计），磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外，金属棒ab的质量为m，电阻为r，与导轨接触良好，从静止释放后ab保持水平而下滑．已知导轨高为h．试求ab下滑的最大速度v_m及整个过程ab棒中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 金属棒ab向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到0，即安培力等于重力时，速度达到最大．推导出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求解ab的最大速度，金属杆下落的过程中，机械能减少转化为内能，根据能量守恒求解r所产生的热能．

解答 解：ab开始向下加速运动，随着速度的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力F都随之增大，ab所受的合力减小，加速度随之减小．当F增大到与重力相等时，加速度变为零，做匀速直线运动，这时ab达到最大速度，
由F=BIL、I=$\frac{E}{R+r}$、E=BLv_m得：安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
根据平衡条件得：mg=F
可得 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
解得：v_m=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
设回路产生的总热量为Q．根据能量守恒定律得：mgh-Q=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$
可得 Q=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
所以r所产生的焦耳热为${Q}_{r}=\frac{r}{R+r}Q$=$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{（R+r）}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}（\frac{r}{R+r}）$．
答：ab下滑的最大速度为$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，整个过程ab棒中产生的焦耳热为$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{（R+r）}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}（\frac{r}{R+r}）$．

点评 决本题的关键运用牛顿第二定律分析出金属棒的运动情况，知道当加速度为0时，速度最大．并能熟练推导安培力与速度的关系式，难度适中．