Question

如图所示，传送带以v为7

2

m/s速度向左匀速运行，DE段长L为4m，半径R为1.8m的光滑半圆弧槽在D点与水平传送带相切，半圆弧槽末端D点静止放置一质量m₂为0.4kg的小滑块Q，一质量m₁为0.2kg的小滑块P从C处无初速度滑下，到达最底端与小滑块发生弹性正碰，两滑块都可以视为质点，且与传送带间的动摩擦因数μ均为0.5，g取10m/s²，不计小滑块通过连接处的能量损失．求：
（1）小滑块P从C处无初速度滑下，到轨道底端D碰撞刚结束的瞬间速度
（2）小滑块Q第一次碰撞后向右运动的最大距离以及此过程产生的热量
（3）移走小滑块Q，将小滑块P无初速度放在传送带E端，要使小滑块能通过A点，传送带DE段至少为多长？

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出小滑块P到达底端D时的速度．对于P、Q碰撞过程，根据动量守恒和机械能守恒列式，求解碰撞刚结束的瞬间P和Q的速度．
（2）小滑块Q滑上传送带先向右做匀减速运动到0，然后向左做匀加速直线运动，可知当速度减小为0时，向右运动的距离最大．根据动能定理求出向右运动的最大距离．由运动学公式求出运动的时间，求出这段时间内传送带的位移，从而得出滑块相对于传送带的位移，根据Q=fx_相求出此过程中的热量．
（3）要使小滑块能通过E点，临界情况是通过N点时，轨道对滑块的弹力为0，有mg=m

v2

R

，求出E点的临界速度，然后根据机械能守恒定律求出D点的速度，根据动能定理求出传送带的最小长度．

解答：解：（1）小滑块P从C处到轨道底端D，根据能量守恒定律：m₁gR（1-cos60°）=

1

2

m1

v

2 0

解得：v₀=

gR

=3

2

m/s
P、Q在D处发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
解得：v₁=-

2

m/s，v₂=2

2

m/s
即碰撞刚结束P的瞬时速度为

2

m/s，方向向左．
（2）小滑块Q做匀减速运动至停止时距离最大，由动能定理得：
-μm₂gx=-

1

2

m₂v₂²，
向右运动的距离最大为x=0.8m，运动时间为t=

2x

v2

=

2×0.8

2 2

=0.4

2

s
则：x_相=vt+

1

2

v2t=6.4m，产生的热量为Q=μm₂gx_相=12.8J
（3）小滑块P恰能通过A点，由向心力公式得：m₁g=m₁

v 2 A

R

小滑块P从D到A，由动能定理得：-2m₁gR=

1

2

m₁v_A²-

1

2

m₁v_D²
则：v_D=

5gR

=3

10

m/s＜7

2

m/s
则P一直在传送带DE段加速，且末速度恰为3

10

m/s，传送带最短，
由动能定理得：μm₁gx′=

1

2

m₁v_D²
传送带至少为：x′=

v 2 0

2μg

=9m
答：
（1）小滑块P从C处无初速度滑下，到轨道底端D碰撞刚结束的瞬间速度为

2

m/s．
（2）小滑块Q第一次碰撞后向右运动的最大距离为6.4m，此过程产生的热量为12.8J．
（3）移走小滑块Q，将小滑块P无初速度放在传送带E端，要使小滑块能通过A点，传送带DE段至少为9m．

点评：解决本题的关键能够熟练运用机械能守恒定律，掌握摩擦产生热量的功能关系式Q=fx_相，以及知道通过N点的临界情况是轨道的弹力为零，重力沿半径方向的分力提供向心力．