Question

11．如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置着用轻绳相连的质量分别为2m，m的两个小物体A，B（均可视为质点），A离转轴r₁=20cm，B离转轴r₂=40cm，A、B与圆盘表面之间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）轻绳上无张力时，圆盘转动的角速度ω的范围？
（2）A、B与圆盘之间不发生相对滑动时，圆盘转动的角速度ω的最大值？
（3）A、B与圆盘之间刚好不发生相对滑动时，烧断轻绳，则A、B将怎样运动？

Answer 1

分析 （1）由题意可知当细线上没有张力时，B与盘间的静摩擦力没有达到最大静摩擦力，故由静摩擦力充当向心力，由向心力公式可求得角速度；
（2）当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ω_m，超过ω_m时，A、B将相对圆盘滑动．分别对两个物体，根据牛顿第二定律和向心力公式列式，即可求得最大角速度．
（3）根据离心的知识分析烧断细线后A、B的运动情况．

解答 解：（1）当B所需向心力 F_B≤F_fmax时，细线上的张力为0，即：mω²r₂≤μmg，
解得：ω≤$\sqrt{\frac{μg}{{r}_{2}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.4}}=\sqrt{10}rad/s$
即当ω≤$\sqrt{10}rad/s$时，细线上不会有张力．
（2）当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ω_m，超过ω_m时，A、B将相对圆盘滑动．设细线中的张力为F_T．
根据牛顿第二定律得：
对A：2μmg-F_T=2mω_m²r₁
对B：μmg+F_T=mω_m²r₂，
得ω_m=$\sqrt{15}$ rad/s．
（3）烧断细线时，A做圆周运动所需向心力F_A=2mω_m²r₁=0.6mg，又最大静摩擦力为0.4mg，则A做离心运动．
B此时所需向心力F_B=mω_m²r₂=0.6mg，大于它的最大静摩擦力0.4mg，因此B将做离心运动．
答：（1）若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足的条件是ω≤3.7 rad/s．　
（2）欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为4.0 rad/s．　
（3）A都做离心运动．

点评 对于圆周运动动力学问题，分析受力情况，确定向心力由什么力提供是解题的关键．本题还要抓住物体刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．