Question

（12分）一弹性小球自4.9 m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间。

Answer 1

解析：

每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等。

小球原来距桌面高度为4.9 m，用h₀表示，下落至桌面时的速度v₀应为：

v₀==9.8 m/s.下落时间为：t₀==1 s

首先用演绎法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度：

v₁=v₀×m/s

第一次碰撞后上升、回落需用时间：2t₁==(2×)×=2×s

小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：

v₂=v₁×=(v₀×)×=v₀×()² m/s

第二次碰撞后上升、回落需用时间：2t₂=2v₂/g=2×()²

再用归纳法：依次类推可得：小球第n次和桌面碰撞后上升，回落需用时间：2t_n=2×() ⁿ (s)

所以小球从开始下落到经n次碰撞后静止所用总时间为：

T=t₂+2t₁+2t₂+…+2t_n=1+2×+2×()²+…+2×(7/9)ⁿ=1+2×［+()²+…+()ⁿ］

括号内为等比级数求和，首项a₁=，公比q=，因为|q|＜1，

所以无穷递减等比级数的和为：，所以T=1+2×=8 s