Question

19．在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论．如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg 的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α=53°，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m，不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求选手摆到最低点时所受的向心力的大小．
（2）若绳长l=2m，选手摆到最高点时松手落入水中．设水对选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d；
（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认为绳越短，落点距岸边越远．请通过推算说你的观点．

Answer 1

分析 （1）选手摆到最低点过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律即可求得选手摆到最低点时速度的大小，再根据向心力公式求解．
（2）若绳长l=2m，选手摆到最高点时离水面的高度为H-lcos53°，从选手开始下落到速度减为零的过程中，重力做正功，浮力和阻力做负功，对全过程运用动能定理求解选手落入水中的深度d．
（3）选手从最低点开始做平抛运动．对于平抛运动沿水平和竖直两个方向进行分解，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上时自由落体运动，分别列出位移式子，联立后进行数学分析，得出当l=1.5m时，水平方向由最大值．再说明自己的观点．

解答 解：
（1）选手从静止摆到最低点过程中机械能守恒，对选手运用机械能守恒定律有：
   $mgl（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
代入数据得：v=$\sqrt{2×10×2×（1-0.6）}$m/s=4m/s，
则选手摆到最低点时所受的向心力的大小${F}_{n}=m\frac{{v}^{2}}{l}=60×\frac{16}{2}=1080N$
（2）对选手开始下落到在水中速度为零整个过程进行分析，重力、浮力和阻力分别做功，
设进入水的深度为d，由动能定理有：
  mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0
代入数据解得：d=1.2m
（3）选手从最低点开始做平抛运动，则有：
水平方向有：x=vt  ③
竖直方向有：H-l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ④
解得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cosα）}$
当l=H-l，即 l=$\frac{H}{2}$=1.5m时，x有最大值．
因此，两人的看法均不正确，当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远．
答：
（1）选手摆到最低点时所受的向心力的大小为1080N；
（2）选手落入水中的深度为1.2m；
（3）两人的看法均不正确，当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远．

点评 本题考查到了机械能守恒，圆周运动向心力，动能定理，平抛运动规律及求极值问题．解答第二问时，一定注意要求的是选手对绳子的拉力．解题过程中是对选手进行受力分析的，故不要忘记应用牛顿第三定律．关于物理当中的极值问题，运用数学上函数法求解．