Question

9．如图所示空间分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个足够长的区域，各边界面相互平行，其中Ⅰ，Ⅱ区域存在匀强电场E_I=1.0×10⁴ V/m，方向垂直边界面竖直向上；E_Ⅱ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×10⁵  V/m，方向水平向右，Ⅲ区域磁感应强度B=5.0T，方向垂直纸面向里，三个区域宽度分别为d₁=5.0m，d₂=4.0m，d₃=5$\sqrt{3}$m．一质量m=1.0×10^-8 kg、电荷量q=1.6×10^-6C的粒子从O点由静止释放，粒子重力忽略不计．求：
（1）粒子离开区域Ⅰ时的速度大小；
（2）粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角；
（3）粒子在Ⅲ区域中运动的时间和离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角．

Answer 1

分析 （1）在区域Ⅰ是直线加速，根据动能定理列式求解末速度的大小；
（2）粒子在区域Ⅱ中是类似平抛运动，根据类平抛运动的分速度公式和分位移公式列式求解；
（3）粒子在磁场中是匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求解轨道半径，然后找出圆心，结合几何关系确定离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角．

解答 解：（1）粒子在区域Ⅰ是向上直线加速，根据动能定理，有：
qE₁d₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}{d}_{1}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1.6×1{0}^{-6}×1.0×1{0}^{4}×5}{1.0×1{0}^{-8}}}$m/s=4×10³m/s
（2）粒子在区域Ⅱ中是类似平抛运动，根据类平抛运动的分运动公式，有：
d₂=v₁t 
v_x=v₁ 
${v}_{y}=\frac{q{E}_{Ⅱ}}{m}t$
${v}_{2}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
速度偏转角正切：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
联立解得：v₂=8×10³m/s
tanθ=$\sqrt{3}$，故θ=60°；
故粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角为30°；
（3）粒子在磁场做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=$\frac{1.0×1{0}^{-8}×8×1{0}^{3}}{1.6×1{0}^{-6}×5}$=10m
画出轨迹，如图所示：

由于圆心在区域Ⅲ上，故粒子是垂直区域Ⅲ边界射出；
粒子在Ⅲ区域中运动的时间为：
t=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{6}×\frac{2π×1{0}^{-8}}{1.6×1{0}^{-6}×5}s$=1.3×10^-3s
答：（1）粒子离开区域Ⅰ时的速度大小为8×10³m/s；
（2）粒子从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时的速度方向与边界面的夹角为30°；
（3）粒子在Ⅲ区域中运动的时间为1.3×10^-3s，离开Ⅲ区域时的速度方向与边界面的夹角为90°．

点评 本题关键是明确粒子的运动性质，然后直线加速、类似平抛、匀速圆周运动过程，结合动能定理、类平抛运动的分运动公式和牛顿第二定律列式求解，不难．