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17.如图所示,某种透明物质制成的直角三棱镜ABC,光在透明物质中的传播速度为2.4×108 m/s,一束光线在纸面内垂直AB面射入棱镜,发现光线刚好不能从AC面射出,光在真空中传播速度为3.0×108 m/s,sin53°=0.8,cos53°=0.6,求:
(i)透明物质的折射率和直角三棱镜∠A的大小;
(ii)光线从BC面首次射出时的折射角α.(结果可用α的三角函数表示)

分析 (i)已知光在透明物质中的传播速度为2.4×108 m/s,根据公式n=$\frac{c}{v}$求透明物质的折射率n.光线刚好不能从AC面射出,说明光线在AC面发生了全反射,入射角等于临界角C,由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C,再由几何关系求出直角三棱镜∠A的大小;
(i)由几何关系求出光线射到BC上的入射角,再由折射定律求折射角α.

解答 解:(i)光在透明物质中的传播速度为 v=2.4×108 m/s
则透明物质的折射率 n=$\frac{c}{v}$=$\frac{3.0×1{0}^{8}}{2.4×1{0}^{8}}$=$\frac{5}{4}$
由题意可知,光线从AB面垂直射入,恰好在AC面发生全反射,光路图如图所示.
设该透明物质的临界角为C,则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{4}{5}$,C=53°
由几何关系可知:∠A=∠C=53°
(ii)由几何关系知:光线在CB面上的入射角 β=37°<C
所以光线从BC面首次射出
由折射定律知:n=$\frac{sinα}{sinβ}$
解得:sin α=0.75
则 α=arcsin0.75
答:
(i)透明物质的折射率是$\frac{5}{4}$,直角三棱镜∠A的大小是53°;
(ii)光线从BC面首次射出时的折射角α是arcsin0.75.

点评 本题是几何光学问题,关键要全反射条件及临界角与折射率的大小关系sinC=$\frac{1}{n}$.当光线从介质射入空气时就要考虑能否发生全反射.

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