Question

（20分）一根长为 L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 L ＞H 。现把细管弯成 L 形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成 L 形时，以 l 表示其竖直段的长度，问 l 取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。

Answer 1

参考解答

开始时竖直细管内空气柱长度为 L，压强为 H（以 cmHg 为单位），注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时，管内空气压强 p＝（H＋x），根据波意耳定律，此时空气柱长度

　（1）

空气柱上表面与管口的距离

（2）

开始时 x 很小，由于 L＞H，故

即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 d＝x（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水银柱表明与管口相平，可分下面两种情况讨论。

1. 水银柱表明与管口相平时，水银柱未进入水平管

此时水银柱的长度 ，由波意耳定律有

　（3）

由（3）式可得

　（4）

由此可知，当 时，注入的水银柱的长度 x 的最大值

　（5）

2. 水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管

此时注入水银柱的长度 x＞l ，由波意耳定律有

　 　（6）

（7）

（8）

由（8）式得

，或 　（9）

　（10）

即当 时，注入水银柱的最大长度 。

由上讨论表明，当 时，可注入的水银量最大，这时水银柱的长度为 ，即（5）式。