Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上平放着一内壁光滑、绝缘的空心细管，管内M端有一带正电的小球P，在距离管的N端正右方2h的A₁处有另一不带电的小球Q，在足够大空间区域有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B．现让细管以垂直管长方向的速度v₁水平向右匀速运动，同时让Q以某速度v₂从A₁点出发沿A₁A₂匀速运动，细管运动到A₁处时，A₁A₂与细管延长线的夹角为45°．若小球P恰好在A处相对水平面以速度

2

v1离开管的N端，一段时间后与Q相碰，试求：
（1）P的带电量与质量之比

q

m

的大小；
（2）v₂的大小．

Answer 1

分析：（1）小球P受到指向N端的洛伦兹力和向左的洛伦兹力，小球既随管子向右匀速运动，又在洛伦兹力作用力下，沿管子向N端做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式可得到小球P到达N端时沿管方向的速度大小，与v₁的合速度等于

2

v1，联立即可求出比荷．
（2）小球P离开管后将在水平面上作匀速圆周运动，速度为

2

v1，由洛伦兹力提供向心力，可由牛顿第二定律求出半径和周期，一段时间后P与Q相碰，分析时间与周期的关系，得到时间的通项，再求出v₂的大小．

解答：解：（1）设小球P的电量为q、质量为m，P因参与v₁运动而受到指向N端的洛伦兹力，其值为：
f=qv₁B
P在管中的运动会使它受到另一个向左的洛伦兹力，此力被管壁施予P向右的力所抵消．P对应有指向N端的加速度：
a=

f

m

=

qv1B

m

… ①
设P从M端到达N端t₁，沿管子方向的速度大小为u．
则：t₁=

2h

v1

…②
    u=at₁…③
则(

2

v1)2=u2+

v

2 1

…④
由③可得：u=v₁…⑤
由①②③⑤可得：

q

m

=

v1

2Bh

…⑥
（2）P离开管后将在水平面上作匀速圆周运动其速度为：v=

2

v1
由qvB=m

v2

r

得：
r=

mv

qB

=

2 mv1

qB

=2

2

h…⑦
周期T=

2πm

qB

…⑧
T=4π

h

v1

P恰好在A₁位置离开管的N端，离开管后最终只可能与Q在图中S处相碰，Q从开始运动到P相碰撞经历的时间为：
t=t₁+（n+

1

2

）T（n=0、1、2、3…）…⑨
在这段时间内Q小球恰好走过2r的路程，则：
 v₂t=2r=4

2

h…⑩
解得：v₂=4

2

h

t

=

2 2 v1

1+(2n+1)π

…（11）
答：（1）P的带电量与质量之比

q

m

的大小为

v1

2Bh

；
（2）v₂的大小为4

2

h．

点评：本题的难点是求解小球离开管子时速度，运用运动的分解方法研究，另一个难点是两球相遇时间的确定，要抓住圆周运动的周期性，列出时间的通项．