Question

（2009?巢湖一模）我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大的提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径．
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回到抛出点．已知月球半径为R月，万有引力常量为G．试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析：（1）根据月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于万有引力列式求解；
（2）先根据竖直上抛运动的知识求出月球表面的重力加速度，再根据月球表面重力等于万有引力列式求解．

解答：解：（1）设地球的质量为M，月球的轨道半径为r，则：G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得
    r=

3	gR2T2 4π2

  ③
（2）设月球表面的重力加速度为g_月，由平抛运动规律得：
   t=

2v0

g月

…④
解得  g_月=

2v0

t

…⑤
在月球表面有：
  m′g_月=G

Mm′

R2

…⑥
由⑤⑥式得：
  M_月=

2v0R2

Gt

答：
（1）月球绕地球运动的轨道半径为

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的质量M_月为

2v0R2

Gt

．

点评：本题关键是要抓住星球表面处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，运用平抛运动的知识求出重力加速度，以及卫星所受的万有引力提供向心力进行列式求解．