Question

如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外．一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P₁时速率为v₀，方向沿x轴正方向；然后经过x轴上x=2h处的 P₂点进入磁场，并经过y轴上y=-2h处的P₃点．不计重力，求：
（1）粒子从P₁点运动到P₂点所用时间及电场强度的大小；
（2）粒子到达P₂时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度的大小及粒子从P₂点运动到P₃点所用时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，即在x轴正方向做匀速直线运动，在y轴负方向上做初速度为0的匀加速直线运动，根据目中给出的位移关系，利用运动的合成与分解求解即可；
（2）根据运动的合成与分解可知，粒子到达P₂时，水平方向速度为v₀，竖直方向速度为v_y=at，已知分运动的情况下，根据合成可以求出粒子速度的大小和方向；
（3）粒子进入磁场后，将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，画出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出粒子做圆周运动的半径，现利用洛伦兹力提供向心力的关系求出磁感应强度的大小，粒子在磁场中运动的时间根据轨迹求出粒子圆周运动转过的圆心角，再根据时间关系t=

θ

2π

T求解即可．

解答：解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子从P₁到P₂的时间为t，电场强度的大小为E，
粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律有：
qE=ma  
故a=

qE

m

粒子在电场中做类平抛运动，即有：
在x轴正方向做匀速直线运动有：
v₀t=2h         
在y轴负方向做初速度为0的匀加速直线运动
h=

1

2

at²
由此可得：t=

2h

v0

，E=

m v 2 0

2qh

；
（2）粒子到达P₂时，速度沿x轴方向的分量仍为v₀，设y轴方向的速度分量为v_y，
则：由于y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故有：
v_y²=2ah，
可得vy=

2ah

=

2qEh m

=v₀
根据运动的合成可得粒子在P₂点的速度

v=

v 2 0 + v 2 v

=

2

v0
粒子速度方向与x轴方向所夹角的正切值为：
tanθ=

vy

v0

=1
即速度与x轴方向所夹的角为45°；
（3）设磁感应强度为B，粒子做匀速圆周运动，则由洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
qvB=m

v2

r

，
即粒子圆周运动的半径r=

mv

qB

，
如图：

因为OP₂=OP₃=2h，由几何关系可知：连线P₂P₃为圆周运动的直径，则：r=

2

h，
则可解得：B=

mv

qr

=

m 2 v0

q 2 h

=

mv0

qh

，
粒子从P₂运动到P₃刚好经过半个圆周，粒子运动的时间：
t′=

πR

v

=

π 2 h

2 v0

=

πh

v0

答：（1）粒子从P₁点运动到P₂点所用时间为

2h

v0

，电场强度的大小为E=

m v 2 0

2qh

；
（2）粒子到达P₂时速度的大小为E=

m v 2 0

2qh

，方向与x轴成45°角向下；
（3）磁感应强度的大小为

mv0

qh

，粒子从P₂点运动到P₃点所用时间为

mv0

qh

．

点评：本题主要考查带电粒子在电场中偏转（做类平抛运动）和带电粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，解决问题的主要方法是抓住运动的合成与分解处理电场中的偏转，抓住洛伦兹力提供圆周运动向心力和根据几何关系确定粒子在磁场中运动轨迹及其几何关系即可．