Question

如图，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30⁰角固定，轨距为L=1m，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．P、M间接有阻值R₁的定值电阻，Q、N间接变阻箱R．现从静止释放ab，改变变阻箱的阻值R，测得最大速度为v_m，得到

1

vm

与

1

R

的关系如图所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）金属杆的质量m和定值电阻的阻值R₁；
（2）当变阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ时，此时金属杆ab运动的速度；
（3）当变阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的速度为

vm

2

时，定值电阻R₁消耗的电功率．

Answer 1

分析：（1）从静止释放ab，ab棒切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，定值电阻R₁与R并联，可求得总电阻的表达式．当ab棒匀速运动时，速度达到最大，根据平衡条件和安培力公式到

1

vm

与

1

R

的关系式，由图象读出斜率造型截距，即可求出m和R₁．
（2）当变阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ时，根据牛顿第二定律求得此时金属杆ab运动的速度；
（3）当变阻箱R取4Ω时，由图象得到v_m，由公式P=

E2

R1

求得定值电阻R₁消耗的电功率．

解答：解：（1）总电阻为R_总=

R1R

R1+R

；
通过金属杆ab的电流为I=

BLv

R总

当达到最大速度时金属棒受力平衡，则有mgsinθ=BIL=

B2L2vm

R1R

(R1+R)
得，

1

vm

=

B2L2

mgRsinθ

+

B2L2

mgR1sinθ

根据图象得到斜率k=0.5，纵截距b=0.5，
由数学知识得：k=

B2L2

mgsinθ

，b=

B2L2

mgR1sinθ

代入数据，可以得到棒的质量m=0.1kg，R₁=1Ω
（2）金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ时，I′=

BLv′

R总

根据牛顿第二定律，得mgsinθ-BI′L=ma
代入得  mgsinθ-

B2L2v

R1R

(R1+R)=

1

2

mgsinθ
代入数据，得到v′=0.8m/s
（3）当变阻箱R取4Ω时，根据图象得到v_m=1.6m/s，则由题v=

vm

2

=0.8m/s
定值电阻R₁消耗的电功率为
P=

E2

R1

=

B2L2v2

R1

=0.16W
答：（1）金属杆的质量m是0.1kg，定值电阻的阻值R₁是1Ω．
（2）当变阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的加速度为

1

2

gsinθ时，此时金属杆ab运动的速度是0.8m/s．
（3）当变阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的速度为

vm

2

时，定值电阻R₁消耗的电功率是0.16W．

点评：本题根据平衡条件和安培力公式得到

1

vm

与

1

R

的关系式是解题的关键，结合数学知识即可求得有关量．