Question

4．小亮观赏跳雪比赛，看到运动员先后从坡顶水平跃出后落到斜坡上．斜坡长80m，如图所示，某运动员的落地点B与坡顶A的距离L=75m，斜面倾角为37°，忽略运动员所受空气阻力．重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求运动员在空中的飞行时间；
（2）小亮认为，无论运动员以多大速度从A点水平跃出，他们落到斜坡时的速度方向都相同．你是否同意这一观点？请通过计算说明理由；
（3）假设运动员在落到倾斜雪道上时，靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜坡的分速度而不弹起．运动员与斜坡和水平地面的动摩擦因数均为μ=0.4，经过C处运动员速率不变，求运动员在水平面上滑行的最远距离．

Answer 1

分析 （1）运动员离开A点后做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由几何知识可以求出A、B两点间的高度，由$h=\frac{1}{2}g{t^2}$可解时间；
（2）根据平抛运动规律求出实际速度与水平方向夹角的正切值的表达式，然后再说明理由；
（3）应用平抛运动规律，即运动的合成与分解和动能定理解答．

解答 解：（1）运动员在竖直方向上做自由落体运动，有：h=Lsin37°，$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
代入数据解得：t=3s；
（2）设在斜坡上落地点到坡顶长为L，斜坡与水平面夹角为α，则运动员运动过程中的竖直方向位移h=Lsinα，水平方向位移x=Lcosα，
运动时间由$h=\frac{1}{2}g{t^2}$解得：$t=\sqrt{\frac{2Lsinα}{g}}$，
由此得运动员落到斜坡时，速度的水平方向分量${v_x}=\frac{x}{t}=\frac{Lcosα}{{\sqrt{\frac{2Lsinα}{g}}}}$，速度的竖直方向分量${v_y}=gt=\sqrt{2gLsinα}$，实际速度与水平方向夹角为$tanβ=\frac{v_y}{v_x}=2tanα$，
由此可说明，速度方向与初速度无关，只跟斜坡与水平面的夹角α有关，所以同意这个观点；
（3）运动员落到斜坡时，水平速度v_x=20m/s
与斜坡碰撞后速度v=v_xcos37°+v_ysin37°=34m/s
斜坡上落点到坡底距离x₁=5m，竖直高度为h₂=3m
滑至停下过程，由动能定理：$mg{h_2}-μmgcosα{x_1}-μmg{x_2}=0-\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：x₂=148m．                             
答：（1）求运动员在空中的飞行时间为3s；
（2）同意这一观点．理由：设实际速度与水平方向夹角为β，由平抛规律解得：$tanβ=\frac{v_y}{v_x}=2tanα$，由此可说明，速度方向与初速度无关，只跟斜坡与水平面的夹角α有关；
（3）运动员在水平面上滑行的最远距离为148m．

点评 知道运动员在空中做平抛运动，掌握平抛运动规律即可正确解题；本题最后一问是本题的难点．