Question

12．如图所示，光滑水平面上有一质量M=1.98kg的小车，车的B点右侧的上表面是粗糙水平轨道，车的B点的左侧固定以半径R=0.7m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切．车的最右端D点固定轻质弹簧弹簧处于自然长度其左端正好对应小车的C点．B与C之间距离L=0.9m，1个质量m=2.0kg的小物块，置于车的B点，车与小物块均处于静止状态，突然有一质量m₀=20g的子弹，以速度v₀=50m/s击中小车并停留在车中，设子弹击中小车的过程时间极短，已知小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.50，g取10m/s²则，
（1）通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，并求当小物块再次回到B点时，小物块的最大速度大小；
（2）若已知弹簧被小物块压缩的最大压缩量x=10cm，求弹簧的最大弹性势能；
（3）求小物块与车最终相对静止时，它距B点的距离．

Answer 1

分析 （1）由于子弹击中小车的过程时间极短，则子弹和小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律求出子弹击中小车后共同速度．此后小物块沿圆轨道上滑，到圆轨道最高点时，子弹、小车和小物块速度相同，由水平动量守恒求出共同速度，再由系统的机械能守恒求小物块上升的最大高度h，将h与R比较，即可判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，再根据系统水平动量守恒和机械能守恒求小物块再次回到B点时小物块的最大速度．
（2）当弹簧具有最大弹性势能时三者速度相同，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．
（3）小物块与车最终相对静止时，三者速度相同，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．

解答 解：（1）对于子弹打小车的过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M）v．
可得 v=5m/s
当小物块运动到圆轨道的最高点时，三者共速为v_共1．
根据动量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共1．
解得 v_共1=2.5m/s
根据机械能守恒定律得
      $\frac{1}{2}$（m₀+M）v²=$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共1²+mgh
解得 h=0.625m＜R=0.7m，所以小物块不能达到圆弧轨道的最高点A．
当小物块再次回到B点时，小物块速度为v₁，车和子弹的速度为v₂．
根据动量守恒定律得
  （m₀+M）v=mv₁+（m₀+M）v₂．
根据能量守恒定律得 $\frac{1}{2}$（m₀+M）v²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$（m₀+M）v₂²．
解得 v₁=5m/s，v₂=0
（2）当弹簧具有最大弹性势能E_p时三者速度相同，由动量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共2．
可得 v_共2=v_共1=2.5m/s
根据能量守恒定律得
     μmg（L+x）+E_p=$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共2²-$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共3²．
解得 E_p=2.5J
（3）当小物块与车最终相对静止时，三者共速为v_共3，它距B点的距离为L_B．
由动量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共3．
可得 v_共3=v_共1=2.5m/s
根据能量守恒定律得
     μmgS=E_p+$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共2²-$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共3²．
解得 S=0.25J
则 L_B=（L+x）-S=0.75m
答：
（1）小物块不能达到圆弧轨道的最高点A，当小物块再次回到B点时，小物块的最大速度大小是5m/s；
（2）若已知弹簧被小物块压缩的最大压缩量x=10cm，弹簧的最大弹性势能是2.5J；
（3）小物块与车最终相对静止时，它距B点的距离是0.75m．

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，往往根据能量守恒研究．要分析清楚物块的运动过程，把握隐含的临界状态：速度相同，结合动量守恒定律和能量守恒定律研究．