Question

18．如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线是水平直径，现有一带正电小球（可视为质点）从B点正上方的A点自由下落，A、B两点间距离为4R，从小球进入管口开始，整个空间中突然加上一个匀强电场，电场力竖直向上的分力大小与重力大小相等，结果小球运动到管口C时对圆管的外壁压力为3mg．设小球运动过程中带电量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）小球到达B点的速度大小：
（2）小球受到的电场力的大小和方向；
（3）小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹经过AB连线上某点P，P点到B点的距离；
（4）小球到达P点的速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球从A点自由下落过程，根据运动学公式求解B点的速度大小；
（2）小球经过C点时，由管壁的压力和电场力的水平分力的合力提供向心力，列式求解小球在C点受到的电场力的水平分力，再由力的合成求解电场力．
（3）小球从管口C处脱离圆管后，根据牛顿第二定律求小球水平分加速度，再由分位移公式求解．
（4）小球从C到P过程，根据动能定理列式求解．

解答 解：（1）从A到B，由v_B²=2gh，h=4R   
则 v_B=2$\sqrt{2gR}$
（2）在C点，由牛顿第二定律得
  3mg+F_x=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
从B到C，由动能定理得：-F_x2R=$\frac{1}{2}$（m v_c²-m v_B²）                         
解得F_x=mg，v_c=2$\sqrt{gR}$                        
据题 F_y=mg
故电场力大小为 F=$\sqrt{2}$ mg，方向与水平成45°斜向左上方     
（3）从C运动到P过程，小球的水平分加速度 a_x=$\frac{{F}_{x}}{m}$=g                             
水平方向有：
  2R=$\frac{1}{2}$a_xt²                             
竖直方向有 y=v_ct
解得 y=4R                               
（4）根据动能定理得：
  F_x•2R=$\frac{1}{2}$（m v_P²-m v_C²）                    
解得 v_P=2$\sqrt{2gR}$，方向与水平成45°斜向左上方．
答：
（1）小球到达B点的速度大小是2$\sqrt{2gR}$：
（2）小球受到的电场力的大小是$\sqrt{2}$ mg，方向与水平成45°斜向左上方；
（3）小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹经过AB连线上某点P，P点到B点的距离是4R；
（4）小球到达P点的速度的大小2$\sqrt{2gR}$，方向与水平成45°斜向左上方．

点评 本题关键运用正交分解法，将小球的运动沿水平方向和竖直方向正交分解，然后运用牛顿运动定律和动能定理列式解答．