Question

8．地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求：地球同步通信卫星的轨道半径．

Answer 1

分析 根据角速度与周期的关系，地球同步卫星绕地球运行的角速度大小为ω=$\frac{2π}{T}$；再根据万有引力提供向心力G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，地球表面的物体受到的重力等于万有引力G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g，解二方程即可得出r．

解答 解：设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G，地球同步通信卫星的轨道半径为r，
则根据万有引力定律和牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{r^2}=mr\frac{{4{π^2}}}{T^2}$
对于质量为m₀的物体放在地球表面上，
根据万有引力定律有$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
联立上述两式可解得$r=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
答：地球同步通信卫星的轨道半径$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 对万有引力与天体的运动问题，一定要知道两个关系：①星球表面的物体受到的重力等于万有引力，②做匀速圆周运动的物体需要的向心力由万有引力提供．熟练掌握这两个关系可以解决一切天体运动的问题．