Question

11．如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g
（1）若固定小车，求滑块运动过程总对小车的最大压力；
（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后C点滑出小车，已知滑块质量m=$\frac{M}{2}$，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车最大速度v_m；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）滑块在圆弧的轨道上运动的过程中合外力提供向心力，所以滑块在B点的左侧受到的支持力要大于重力，当滑块到达B时的速度最大，受到的支持力最大，由机械能守恒求出滑块在B点的速度，然后又牛顿第二定律即可求解；
（2）根据题意，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，然后结合机械能守恒即可求出小车的最大速度大小v_m；
在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，写出速度的关系式，然后结合运动学的公式即可求出小车的位移．

解答 解：（1）当滑块到达B时的速度最大，受到的支持力最大；
滑块下滑的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，
滑块在B点处受到的支持力与重力的合力提供向心力，
由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：N=3mg，
由牛顿第三定律得：滑块对小车的压力：N′=N=3mg
即滑块运动过程中对小车的最大压力是3mg．
（2）①在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，设小车的最大速度是v_m，
由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$Mv_m²+$\frac{1}{2}$m（2v_m）²，解得：v_m=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；
②由于在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，
所以滑块从B到C运动过程中，滑块的平均速度是小车的平均速度的2倍，
即：$\overline{{v}_{滑块}}$=2$\overline{{v}_{车}}$，
由于它们运动的时间相等，根据：x=$\overline{v}$t可得：s_滑块=2s_车
又：s_滑块+s_车=L
所以：小车的位移大小：s=$\frac{1}{3}$L；
答：（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力是3mg；
（2）①滑块运动过程中，小车的最大速度大小是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小是$\frac{1}{3}$L．

点评 该题的第一问考查机械能守恒与向心力，比较简单；
第二问主要考查系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，往往根据平均速度研究．也可以根据题目提供的特殊的条件：在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，不使用动量守恒定律．