（20分）图预20-7-1中 A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B板电势为零，A板电势UA随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中UA的最大值为的U0，最小值为一2U0．在图预20-7-1中，虚线MN表示与A、B扳平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．己知上述的T、U0、l，q和m等各量的值正好满足等式
若在交流电压变化的每个周期T内，平均产主320个上述微粒，试论证在t＝0到t＝T／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。
参考解答
在电压为
时，微粒所受电场力为
，此时微粒的加速度为
。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为
（1）
现在分析从0到
时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A板，然后计算这些微粒的数目。
在
时产生的微粒，将以加速度
向A板运动，经
后，移动的距离
与式（1）相比，可知
（2）
即
时产生的微粒，在不到
时就可以到达A板。在
的情况下，设刚能到达A板的微粒是产生在
时刻，则此微粒必然是先被电压
加速一段时间
，然后再被电压
减速一段时间，到A板时刚好速度为零。用
和
分别表示此两段时间内的位移，
表示微粒在
内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有
（3）
（4）
又因
， （5）
， （6）
， （7）
由式（3）到式（7）及式（1），可解得
， （8）
这就是说，在
的情况下，从
到
这段时间内产生的微粒都可到达A板（确切地说，应当是
）。
为了讨论在
这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A板附近，在
电场作用下，由A板向B板运动，若到达B板经历的时间为
，则有
根据式（1）可求得
由此可知，凡位于
到A板这一区域中的静止微粒，如果它受
的电场作用时间大于
，则这些微粒都将到达B板。
在
发出的微粒，在
的电场作用下，向A板加速运动，加速的时间为
，接着在
的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过
微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在
的电场作用下向B板运动的时间为
由于
，故在
时产生的微粒最终将到达B板（确切地说，应当是
），不会再回到A板。
在
大于
但小于
时间内产生的微粒，被
的电场加速的时间小于
，在
的电场作用下速度减到零的时间小于
，故可在
的电场作用下向B板运动时间为
所以这些微粒最终都将打到B板上，不可能再回到A板。
由以上分析可知，在
到
时间内产生的微粒中，只有在
到
时间内产生的微粒能到达A板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A板的微粒数为
（9）
评分标准：本题20分。
论证在
到
时间内产生的微粒可能到达A板给10分；论证
到
时间内产生的微粒不能到达A板给6分。求得最后结果式（9）再给4分。
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