Question

一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为m₁、m₂、m₃，且m₂=m₃=2m₁．小球与槽的两壁刚好接触且不计所有摩擦．起初三个小球处于如图所示的等兼具的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个位置，m₂、m₃静止，m₁以初速度v₀=

πR

2

沿槽运动，R为圆环内半径与小球半径之和．已知m₁以v₀与静止的m₂碰撞之后，m₂的速度大小为

2v0

3

；m₂与m₃碰撞之后二者交换速度；m₃与m₁之间的碰撞为弹性碰撞．求此系统的运动周期T．

Answer 1

设m₁经过t₁与m₂相碰，t1=

1 3 ?2πR

v0

=

2πR

3v0

设m₁与m₂碰撞之后两球的速度分别为v₁、v₂，在碰撞过程中由动量守恒定律得：
    m₁v₀=m₁v₁+2m₁v₂
由题v₂=

2v0

3

，求得v₁=-

v0

3

，方向与碰前速度方向相反．
设m₂经过t₂与m₃相碰，t₂=

1 3 ?2πR

v2

=

2πR

3v2

设m₂与m₃碰撞之后两球的速度分别为v₂'、v₃'，因m₂与m₃在碰撞后交换速度
   所以v₂'=0，v₃′=

2v0

3

由碰后速度关系知，m₃与m₁碰撞的位置在Ⅰ位置，设m₃经过t₃与m₁相碰，t3=

1 3 ?2πR

v3′

设m₃与m₁碰撞后的速度分别为v₃''，v₁''，由动量守恒和机械能守恒定律可得：
   2m₁v₃'+m₁v₁=2m₁v₃''+m₁v₁''

1

2

×2m1v3′2+

1

2

m1v12=

1

2

×2m1v3′′2+

1

2

×m1v1′′2 
联立解得：v₃''=0，v₁''=v₀或v3″=

2v0

3

，v1″=-

v0

3

（舍）                                   
设m₁碰后经t₄回到Ⅱ位置，t₄=

1 3 ?2πR

v1′

至此，三个小球相对于原位置分别改变了120⁰，且速度与最初状态相同．故再经过两个相同的过程，即完成一个系统的运动周期．T=3（t₁+t₂+t₃+t₄）=20s                                       
答：此系统的运动周期为20s．