Question

20．牛顿为了论证地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，做了著名的“月-地”检验：若用m表示地球的质量，R表示地球半径，r表示月球到地心的距离，G表示引力常量，试证明，在地球引力作用下：
（1）地球表面上的物体的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$；
（2）月球的加速度a月=$\frac{Gm}{{r}^{2}}$；
（3）已知r=60R，利用（1）（2）求$\frac{{a}_{月}}{g}$；
（4）已知r=3.8×10⁸m，月球绕地球运动的周期T=27.3d，计算月球绕地球运行的向心加速度a′_月；
（5）已知海拔高度为零、纬度为0°处的重力加速度g=9.78m/s2，用（4）中算出的a′_月求$\frac{a{′}_{月}}{g}$．

Answer 1

分析 万有引力提供向心力，星球表面的物体受到的重力等于万有引力，应用万有引力公式与牛顿第二定律列方程，然后求出相关的量，进行答题．

解答 解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G$\frac{mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$；
（2）月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{mm″}{{r}^{2}}$=m″a_月，解得：a_月=$\frac{Gm}{{r}^{2}}$；
（3）已知：r=60R，
则：$\frac{{a}_{月}}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{R}^{2}}{（60R）^{2}}$=$\frac{1}{3600}$；
（4）月球绕地球运行的向心加速度：
a′_月=ω²r=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×3.8×1{0}^{8}}{（27.3×24×60×60）^{2}}$≈0.00269m/s²；
（5）向心加速度与重力加速度之比为：$\frac{a{′}_{月}}{g}$=$\frac{0.00269}{9.78}$=2.75×10^-4；
答：（1）证明如上所述；（2）证明过程如上所述；
（3）已知r=60R，$\frac{{a}_{月}}{g}$为1：3600；
（4）已知r=3.8×10⁸m，月球绕地球运动的周期T=27.3d，月球绕地球运行的向心加速度a′_月为0.00269m/s²；
（5）已知海拔高度为零、纬度为0°处的重力加速度g=9.78m/s2，$\frac{a{′}_{月}}{g}$为2.75×10^-4．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、万有引力等于重力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题，本题计算量较大，计算时应认真细心，计算时要注意单位换算．