Question

15．如图所示，光滑水平面上有一长木板，木板右端用细绳拴在墙上，左端上部固定一轻质弹簧．质量为m的小铁球以某一初速度（未知大小）在木板光滑的上表面向左运动，并压缩弹簧．当铁球的速度减小为初速度的一半时，弹簧的弹性势能等于E₀，此时细绳恰好被拉断，从而木板开始向左运动．为使木板在以后运动的过程中获得的动能最大，木板的质量应为多大？并求出木板的动能最大值．

Answer 1

分析 绳断之前，球与弹簧组成的系统能量守恒，由能量守恒定律可以求出球的初速度．
球与木板组成的系统动量守恒，当 弹簧恢复原长，而且小球的速度恰好为0时，木块获得的动能最大，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出木板的质量．

解答 解：绳断之前，球与弹簧组成的系统能量守恒，由能量守恒定律得：
${E}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{8{E}_{0}}{3m}}$；
球与木板组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：$m•\frac{1}{2}{v}_{0}=（m+M）v$，
当弹簧恢复原长，而且小球的速度恰好为0时，木块获得的动能最大，对球、弹簧与木板组成的系统，能量守恒：
$\frac{1}{2}M{v}^{2}={E}_{0}+\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$
解得木板质量：$M=\frac{1}{4}m$，${W}_{km}=\frac{1}{2}M{v}^{2}=\frac{4}{3}{E}_{0}$；
答：木板的质量应为$\frac{1}{4}m$，木板的动能最大值是$\frac{4}{3}{E}_{0}$．

点评 分析清楚球的运动过程，明确弹簧恢复原长，而且小球的速度恰好为0时，木块获得的动能最大，才能恰好抓住题目的关键，然后应由动量守恒定律与能量守恒定律 即可正确解题．