Question

19．已知“火卫一号”绕火星运行周期为T，距火星面的高度为h，已知火星的半径为R，万有引力常量为G．若将“火卫一号”的运行轨道看做圆轨道，求：
（1）“火卫一号运行”的线速度；
（2）火星的质量；
（3）火星表面的重力加速度．

Answer 1

分析 （1）根据v=$\frac{2πr}{T}$求解线速度；
（2）根据万有引力提供向心力求解质量；
（3）在火星表面附近，根据重力等于万有引力列式求解．

解答 解：（1）根据匀速圆周运动线速度与周期的关系知：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π（R+h）}{T}$
（2）万有引力充当向心力，即：
G$\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）  
解得火星的质量为：M=$\frac{{4{π^2}}}{{G{T^2}}}$（R+h）³  
（3）在火星表面附近，根据重力等于万有引力得：
G$\frac{Mm}{R^2}$=mg                
所以有：g=$\frac{{4{π^2}}}{{{R^2}{T^2}}}$（R+h）³   
答：（1）“火卫一号运行”的线速度为$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）火星的质量为$\frac{{4{π^2}}}{{G{T^2}}}$（R+h）³；
（3）火星表面的重力加速度为$\frac{{4{π^2}}}{{{R^2}{T^2}}}$（R+h）³．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．