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精英家教网如图所示,半径分别为a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场,中心O处固定一个半径很小(可忽略)的金属球,在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场,小圆周与金属球间电势差为U,两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,设有一个带负电的粒子从金属球表面沿+x轴方向以很小的初速度逸出,粒子质量为m,电量为q,(不计粒子重力,忽略粒子初速度)求:
(1)粒子到达小圆周上时的速度为多大?
(2)粒子以(1)中的速度进入两圆间的磁场中,当磁感应强度超过某一临界值时,粒子将不能到达大圆周,求此最小值B.
(3)若磁感应强度取(2)中最小值,且b=(
2
+1)a,要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点,粒子需经过多少次回旋?并求粒子在磁场中运动的时间.(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回)
分析:(1)根据动能定理,通过末动能求出加速电压的大小.
(2)根据洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径的表达式,要使粒子不能到达大圆周,其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切.
(3)根据题目给定的条件,画出带电粒子运动的轨迹,从而确定粒子在磁场中转过φ=270°,然后沿半径进入电场减速到达金属球表面,再经电场加速原路返回磁场,如此重复,恰好经过4个回旋后,沿与原出射方向相反的方向回到原出发点.
解答:解:(1)粒子在电场中加速,根据动能定律得:qU=
1
2
mv2

所以:v=
2qU
m

(2)粒子进入磁场后,受洛伦兹力做匀速圆周运动,有:
qBv=m
v2
r

要使粒子不能到达大圆周,其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切,如图,
则有:
a2+r2
=b-r

所以:r=
b2-a2
2b

联立解得:B =
2b
b2-a2
2mU
q

(3)图中  tanθ=
r
a
=
b2-a2
2ab
=1
即θ=45°                    
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则粒子在磁场中转过φ=270°,然后沿半径进入电场减速到达金属球表面,再经电场加速原路返回磁场,如此重复,恰好经过4个回旋后,沿与原出射方向相反的方向回到原出发点.         
因为    T=
2πm
Bq

将B代入,得粒子在磁场中运动时间为t=4×
3
4
T
=
3π(b2-a2)
b
m
2qU

答:(1)粒子到达小圆周上时的速度为
2qU
m

(2)当磁感应强度超过某一临界值时,粒子将不能到达大圆周,求此最小值B =
2b
b2-a2
2mU
q

(3)要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点,粒子需经过4次回旋;粒子在磁场中运动的时间
3π(b2-a2)
b
m
2qU
点评:本题粒子在有圆形边界的磁场做匀速圆周运动的问题,画出轨迹,根据几何知识分析临界条件,求半径和圆心角是常用的思路.
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