Question

【题目】如图所示，水平地面上左侧有一质量为2m的四分之一光滑圆弧斜槽C，斜槽末端切线水平，右侧有一质量为3m的带挡板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板与地面的动摩擦因数为0.25,斜槽末端和木板左端平滑过渡但不粘连。某时刻，一质量为m的可视为质点的光滑小球A从斜槽顶端静止滚下，重力加速度为g，求：

（1）若光滑圆弧斜槽C不固定，圆弧半径为R且不计斜槽C与地面的摩擦，求小球滚动到斜槽末端时斜槽的动能

（2）若斜槽C固定在地面上，小球从斜槽末端滚上木板左端时的速度为vO ,小球滚上木板上的同时，外界给木板施加大小为vO的水平向右初速度，并且同时分别在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1与F2 ，且F1=F2 =0.5mg。当小球运动到木板右端时（与挡板碰前的瞬间），木板的速度刚好减为零，之后小球与木板的挡板发生第1次相碰，以后会发生多次碰撞。已知小球与挡板都是弹性碰撞且碰撞时间极短，小球始终在木板上运动。

求：①小球与挡板第1次碰撞后的瞬间，木板的速度大小

②小球与挡板第1次碰撞后至第2019次碰撞后瞬间的过程中F1与F2做功之和。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；

【解析】

解：(1)由题可知，设小球滚动到斜槽末端时，与的速度大小分别为，

与水平方向动量守恒，则： ①

与系统机械能守恒，则： ②

的动能为： ③

联立①②③ 解得：

（2）①小球滚到木板上后，小球与木板的加速度大小分别为与

则有： ④

⑤

木板开始运动到速度第一次减为零时用时为，则有： ⑥

小球第一次与挡板碰前瞬间速度为： ⑦

另设第一次碰完后小球与木板的速度分别为，

与动量守恒，则： ⑧

与系统动能不变，则： ⑨

联立④⑤⑥⑦⑧⑨解得：，

②由题可知，第1次碰撞后，小球以沿木板向左匀减速运动再反向匀加速，木板以向右匀减速运动（两者如图所示）

木板速度再次减为零的时间：

小球的速度：

此时，小球的位移：

木板的位移：

即小球、木板第2次相碰前瞬间的速度与第1次相碰前瞬间的速度相同，以后小球、木板重复前面的运动过程；

则第1次碰撞后与第2019次碰撞后瞬间，小球与木板总位移相同，都为： ⑩

则此过程与做功之和： ⑾

联立⑩⑾解得：