Question

如图甲所示，光滑平行金属导轨水平放置，间距为L，导轨一部分处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，MN为磁场边界，磁感应强度为B，导轨右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计．在距离MN为L的处垂直导轨放置一根质量为m、电阻为r的金属杆ab．试求：（1）若固定a b杆，磁场按B_t=Bcosωt规律由B减小到零，在此过程中电阻R上产生的电热Q₁是多少；
（2）若磁感应强度大小保持B大小不变，用水平向右的恒力使ab杆由静止开始向右运动，其速度-位移的关系图象如图乙所示，则ab杆在离开磁场前瞬间的加速度为多大；在ab杆滑过3L的过程中电阻R上产生的电热Q₂是多少？．

Answer 1

（1）当磁场按B_t=Bcosωt规律变化时，回路中产生的电动势大小为
e=

△B

△t

L2=BL2ωsin?t
其有效值为 E=

BL2ω

2

磁场由B减小到零经历的时间为 t=

1

4

2π

ω

=

π

2ω

在此过程中，电阻R产生的热量 Q1=(

E

R+r

)2Rt=

πωRB2L4

4(R+r)2

（2）设恒定的拉力大小为F，在ab杆离开磁场区的瞬间，牛顿第二定律：F-

B2L2v1

R+r

=ma
在ab杆在磁场运动过程中，由动能定理F?l-Q2=

1

2

m

v

21

在ab杆离开磁场继续向前运动2L的过程中：F?2L=

1

2

m(

v

22

-

v

21

)
联立上述三个等式可得：a=

v 22 - v 21

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

Q2=

1

4

m(

v

22

-3

v

21

)
答：（1）若固定a b杆，磁场按B_t=Bcosωt规律由B减小到零，在此过程中电阻R上产生的电热Q₁是

πωRB2L4

4(R+r)2

；
（2）ab杆在离开磁场前瞬间的加速度为

v 22 - v 21

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

；
在ab杆滑过3L的过程中电阻R上产生的电热Q₂是

1

4

m(

v

22

-3

v

21

)．