Question

5．如图所示．两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x₀的条形匀强磁场区域1、2…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．
（1）对金属棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q．
（2）对金属棒ab施加水平向右的拉力，让它从图示位置由静止开始做匀加速运动，当棒进入磁场区1时开始做匀速运动，速度的大小为v．此后在不同的磁场区施加不同的拉力，使棒保持做匀速运动穿过整个磁场区．取棒在磁场1区左边界为x=0，作出棒ab所受拉力F随位移x变化的图象．
（3）求第（2）中棒通过第i（1≤i≤n）磁场区时的水平拉力Fi和棒在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q．
（用x₀、B、L、m、R、n表示）

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出平均电流，带入公式Q=It即可求出电量．
（2）线框开始做加速度逐渐减小的加速运动，然后匀速运动，对于变加速过程根据数学知识可以求出时间．
（3）根据动能定理可以求出导体棒进入磁场时速度大小，在磁场中匀速运动因此安培力等于力F₁，根据受力平衡可以求出力F₁，在磁场中运动时，导体棒克服安培力做功，转化为回路中的电热，根据功能关系写出安培力做功表达式，然后依据数学知识求解．

解答 解：（1）电路中产生的感应电动势为：$E=\frac{△Φ}{△t}$
通过电阻R的电量为：$q=I△t=\frac{E△t}{R}$
导体棒通过I区过程：△Φ=BLx₀
解得：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$
故导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$．
（2）设导体棒运动时速度为v₀，则产生的感应电流为：
${I}_{0}=\frac{E}{R}=\frac{BL{v}_{0}}{R}$
导体棒受到的安培力与水平向右的恒力F₀平衡，则
BI₀L=F₀
解得：${v}_{0}=\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
设棒通过磁场去I在△t时间内速度的变化为△v，对应的位移为△x，则
${F}_{0}-BIL=m\frac{△v}{△t}$
$△v=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}v△=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}△x$
则$∑△v=\frac{{F}_{0}}{m}∑△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}\;}{mR}∑△x$
解得：$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
故棒通过磁场区1所用的时间$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）设进入I区时拉力为F₁，速度v，则有：
${F}_{1}{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
 ${F}_{1}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}\;=0$
解得：${F}_{1}=\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$，$v=\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$
进入i区的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$．
导体棒以后通过每区域都以速度v做匀速运动，由功能关系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$
故棒ab通过第i磁场区时的水平拉力的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．
答：（1）导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电荷量是$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F₀，让它从磁场区1左侧边界处开始运动，当向右运动距$\frac{{x}_{0}}{2}$时做匀速运动，棒通过磁场区1所用的时间t为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）棒ab通过第i磁场区时的水平拉力F_i为$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热为$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．

点评 本题考查了电磁感应中力学与功能问题，物理过程比较简单，难点在于应用数学知识解答物理问题．