Question

14．如图所示，长L=9m的传送带与水平面的倾角θ=37°，在电动机的带动下以v=4m/s的恒定速率沿顺时针方向运行，在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将带上的物块挡住，在传送带的A端静止释放一质量m=1kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计（g=10m/s²，sin37°=0.6），求：
（1）物块从静止释放到第一次下滑到挡板P处的过程中，物块相对传送带滑行的路程；
（2）物块从静止释放到第一次上升至最高点的过程中，物块相对传送带滑行的路程．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在下降过程和上升过程中的加速度，运用运动学公式求出下滑过程和上升过程的相对位移，求出相对运动距离之和；
（2）应用牛顿第二定律与匀变速直线运动的速度位移公式求出物块的位移，即可求得相对运动的路程．

解答 解：物块从A点由静止释放，由牛顿第二定律得：
向下运动的加速度：ma₁=mgsinθ-μmgcosθ，
代入数据解得：a₁=2m/s²，
由速度位移公式可知，与P碰前的速度为：v₁=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×2×9}$=6m/s，
物块从A到B的时间为：t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{6}{2}=3s$
在此过程中物块相对传送带向下位移为：s₁=L+vt₁=21m
（2）物块与挡板碰撞后，以v₁的速率反弹，因v₁＞v，物块相对传送带向上滑，
由牛顿第二定律可知，物块向上做减速运动的加速度为a₂有：ma₂=mgsinθ+μmgcosθ，
代入数据解得：a₂=10m/s²
物块速度减小到与传送带速度相等所需时间：t₂=$\frac{{v}_{1}-v}{{a}_{2}}$=$\frac{6-4}{10}$=0.2s，
物块向上的位移：x₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{6+4}{2}×0.2$=1m，
物块相对传送带向上的位移为：s₂=l₁-vt₂=0.2m
物块速度与传送带速度相等后，μ＜tanθ，由牛顿第二定律可知：ma₃=mgsinθ-μmgcosθ，
代入数据解得，物块向上做减速运动的加速度：a₃=2m/s²，
物块速度减小到零的时间为：t₃=$\frac{v}{{a}_{3}}=\frac{4}{2}=2s$
物块向上的位移：x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2}$=4m，
此过程中物块相对传送带向下的位移为：s₃=vt₃-l₂=4m
相对传送带的位移为：s₁+s₂+s₃=21+0.2+4=25.2m；
答：（1）物块从静止释放到第一次下滑到挡板P处的过程中，物块相对传送带滑行的路程为21m；
（2）物块从静止释放到第一次上升至最高点的过程中，物块相对传送带滑行的路程为25.2m．

点评 本题为多过程多物体问题，过程较为复杂，解题的关键理清每一段过程，分别运用牛顿定律和运动学知识进行分析求解即可；要求思路要清晰，按步骤一步步进行即可求解．