Question

（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高，远地点离地面高，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量，地球半径，地面重力加速度，月球半径。

1．试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率。

2．在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小，要把近地点抬高到600，问点火时间应持续多长？

3．试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。

4．卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度约为200，周期分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。

Answer 1

解析：

1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）与的算术平均值，即有

                (1)

 代入数据得

                           km                 (2)

 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有

                                                    (3)

 代入数据得

                                                 (4)

 椭圆的偏心率

                                                   (5)

代入数据即得  

                                                     (6)

2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以和分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有

                                       (7)

式中是地球质量，是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有

                                                    (8)

 注意到

                                                       (9)

 由(7)、(8)、(9)式可得

                                                     (10)

                                          (11)

当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有

                                  

由(11)式并代入有关数据得

km/s                               (12)

依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度km，但新轨道近地点高度km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为

                              km/s                  (13)

卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为t，有

                                                      (14)

由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得

                  t= (约2.5分)                          (15)

这比运行周期小得多.

3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小

                                       (16 ) 

其中

                               （17）

是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故是恒量.利用远地点处的角动量，得

                                   (18)

又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为

                                              (19)

所以卫星沿轨道运动的周期

                                              (20)

由(18)、(19)、(20) 式得

                                        (21)

代入有关数据得

                        s (约15小时46分)         (22)

注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两卫星的周期T与T₀之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a₀之比的立方，即

                                    

若是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有

                  

得                                                                                                                     

从而得

                          

代入有关数据便可求得(22)式.                               

4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有

                                                (23)

这里是卫星绕月轨道半径，是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得

                                       (24)

代入有关数据得

                                    (25)