Question

10．如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm．导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中．一根电阻为r=0.1Ω的金属棒ab可紧贴导轨左右运动．两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻R=0.4Ω，其余电阻忽略不计．已知当金属棒ab不动，质量为m=10g、q=-1.0×10^-3C的小球以某一速度v₀沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g=10m/s²）．求：

（1）小球的速度v₀
（2）若要使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小和方向？
（3）金属板A、C间加一匀强磁场，可以使小球射入金属板间后作匀速圆周运动，并下极板左端D点水平射出．金属板间加的磁场强度B′大小和方向．

Answer 1

分析 （1）当金属棒ab不动时，小球在金属板间做平抛运动，根据水平位移和竖直位移，由运动学公式即可求得初速度v₀．
（2）若使小球在金属板间不偏转，小球在金属板间受力必须平衡，电场力应竖直向上，小球带负电，可判断出电容器极板的电性，由右手定则判断出金属棒ab的运动方向．根据欧姆定律得到板间电压与感应电动势的关系，对于小球，根据平衡条件列式，求解即可．
（3）若要使小球能从金属板间做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，求解即可．

解答 解：解：（1）根据题意，小球在金属板间做平抛运动．水平位移为金属板长L=20cm，竖直位移等于$\frac{d}{2}$=5cm，根据平抛运动规律：
水平方向匀速运动：x=v₀t，竖直方向匀加速运动：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
带入数据得：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
解得：v₀=L$\sqrt{\frac{g}{d}}$=0.2×$\sqrt{\frac{10}{0.1}}$m/s=2m/s
（2）欲使小球不偏转，须小球在金属板间受力平衡，根据题意应使金属棒ab切割磁感线产生感应电动势，从而使金属板A、C带电，在板间产生匀强电场，小球所受电场力等于小球的重力．
由于小球带负电，电场力向上，所以电场方向向下，A板必须带正电，金属棒ab的a点应为感应电动势的正极，根据右手金属棒ab应向右运动．
设金属棒ab的速度为v₁，则：E=BLv₁，
金属板A、C间的电压：U=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$R
金属板A、C间的电场E_场=$\frac{U}{d}$，
小球受力平衡，则有：qE_场=mg
得：E_场=$\frac{mg}{q}$
联立以上各式解得：v₁=$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=$\frac{1×1{0}^{-2}×10×0.5×0.1}{1{0}^{-3}×5×0.5×0.4}$=5m/s
（3）加上磁场后，粒子做匀速圆周运动，重力和电场力相等抵消，洛伦兹力提供向心力，
由左手定则可知B′的方向垂直纸面向里．　　
洛伦兹力提供向心力：$B′q{v}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
几何关系：$R=\frac{d}{4}$         
解得：$B′=\frac{4m{v}_{0}}{qd}=\frac{4×1×1{0}^{-2}×2}{1{0}^{-3}×0.1}$=8×10²T
答：（1）小球的速度v₀为2m/s，
（2）要使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小为5m/s，方向向右运动
（3）金属板间加的磁场强度B′大小为8×10²T，方向垂直纸面向里．

点评 本题是平抛运动、电磁感应和类平抛运动、电路的综合，类平抛运动、圆周运动的研究方法的解题应用典型例题，本类题目中受力分析和公式的应用是关键．