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4.如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆细管竖立放置,两个质量均为m的小球A、B(小球直径略小于细管直径),以不同的速率沿光滑水平面运动后进入管内,若A球通过圆周最高点C时恰好对管壁没有作用力,B球通过圆周最高点C时,对管壁的作用力为0.75mg.求:
(1)A球到达圆周最高点C时的速度大小
(2)A球刚开始在水平面运动时的速度大小.
(3)A、B球第一次落到水平面地面后,它们间的水平距离.

分析 (1)A球通过圆周最高点时由重力提供向心力,由牛顿第二定律求其在最高点的速度.
(2)A在半圆形管道内运动的过程中,机械能守恒,据此列式可求得A球刚开始在水平面运动时的速度.
(3)B球通过最高点时,由合力提供向心力,由牛顿第二定律求出B球通过最高点的速度.两个小球离开C点后都做平抛运动,利用平抛运动的知识即可求得A、B两球落地点间的距离.

解答 解:(1)设A球到达圆周最高点C时的速度大小为vA
根据牛顿第二定律得:
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ …①
解得 vA=$\sqrt{gR}$…②
(2)设A球刚开始在水平面运动时的速度大小为v′A,小球A从水平面到达最高点的过程中,由机械能守恒得:
$\frac{1}{2}mv'_A^2=mg•2R+\frac{1}{2}mv_A^2$…③
解得:${v'_A}=\sqrt{5gR}$…④
(3)设B球到达圆周最高点C时的速度大小为vB,小球A、B离开轨道最高点后都做平抛运动,则有:
 S=v•t,$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$…⑤
可得A球的水平位移大小为:${S_A}={v_A}\sqrt{\frac{4R}{g}}$,
B球的水平位移大小为:${S_B}={v_B}\sqrt{\frac{4R}{g}}$…⑥
情况一:当小球B在最高点受到管壁内侧的作用为N=0.75mg时,
由牛顿第二定律可得:$mg-N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑦
A、B球第一次落到水平面地面后,它们间的水平距离为:△S=SA-SB…⑧
联立②⑥⑦⑧解得:△S=R
情况二:当小球B在最高点受到管壁外侧的作用为N=0.75mg时,
由牛顿第二定律可得:$mg+N=m\frac{v_B^2}{R}$…⑨
A、B球第一次落到水平面地面后,它们间的水平距离为:△S=SB-SA …⑩
联立②⑥⑨⑩解得:$△S=\sqrt{7}R-2R$
答:
(1)A球到达圆周最高点C时的速度大小为$\sqrt{gR}$.
(2)A球刚开始在水平面运动时的速度大小为$\sqrt{5gR}$.
(3)A、B球第一次落到水平面地面后,它们间的水平距离为R或$\sqrt{7}$R-2R.

点评 本题管子与轻杆模型类似,在最高点,管子对球的作用力可能向上,也可能向下,对第3小题,在作用力方向未知的情况下,要分情况讨论,不能漏解.

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