Question

15．均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R，质量为m．将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方某处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行． 当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零．已知重力加速度为g．不计空气阻力．求：
（1）线框刚开始下落时，cd边距磁场上边界的高度h；
（2）线框进入磁场过程中cd两点间的电势差；
（3）线框进入磁场过程中线框产生的热量．

Answer 1

分析 （1）若此时线框加速度恰好为零，线框所受的安培力与重力平衡，推导出安培力表达式，由平衡条件求解h；
（2）根据E=BLv和欧姆定律知cd两点间的电势差大小等于外电压，等于$\frac{3}{4}$E．
（3）根据能量守恒线框进入磁场过程中线框内产生的焦耳热等于重力势能的减少量．

解答 解：（1）设cd边刚进入磁场时线框的速度为v，
线框中产生的感应电动势  E=BLv
线框中电流   I=$\frac{E}{R}$
线框所受的安培力    F=BIL
根据牛顿第二定律得：mg-F=ma，由a=0    
求得$v=\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}$
由v²=2gh
解得下落高度h=$\frac{{{m^2}g{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$
（2）cd边刚进入磁场时，线框中产生的感应电动势大小$E=BLv=BL•\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}=\frac{mgR}{BL}$
线框中电流   I=$\frac{E}{R}$
cd两点间的电势差U=I（$\frac{3}{4}R$）=$\frac{3mgR}{4BL}$
（3）根据能量转化与守恒可得：
线框进入磁场过程中线框内产生的焦耳热等于重力势能的减少量，即Q=△E_p=mgL
答：（1）线框刚开始下落时，cd边距磁场上边界的高度h=$\frac{{{m^2}g{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$；
（2）线框进入磁场过程中cd两点间的电势差为$\frac{3mgR}{4BL}$；
（3）线框进入磁场过程中线框产生的热量为mgL．

点评 本题电磁感应与力学、电路知识的综合，注意区分cd电压是外电压还是内电压．安培力与速度的关系要会推导．