Question

8．河宽d=200m，水流速度v₁=3m/s，船在静水中的速度v₂=5m/s．求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？

Answer 1

分析 船实际参与了两个分运动，沿船头指向的匀速运动和沿水流方向的匀速运动，两分运动同时发生，互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向分运动的时间；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小．

解答 解：（1）船头垂直于河岸航行时所用时间最短，此种情况渡河时间为t₁=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{200}{5}$s=40s；
此时船沿河岸方向的位移为x=v₁t₁=3×40m=120m；
那么船经过的位移大小为s=$\sqrt{{d}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{20{0}^{2}+12{0}^{2}}$=40$\sqrt{34}$m；
（2）渡河位移最短，船头要偏向上游，设于河岸夹角为θ，则有v₁=v₂cosθ，
由几何关系，则有：sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$；
因此解得：θ=53°；
此时渡河时间为t₂=$\frac{d}{{v}_{2}sinθ}$=$\frac{200}{5×\frac{4}{5}}$s=50s；
答：（1）欲使船渡河时间最短，船垂直河岸，最短时间为40s，船经过的位移大小为40$\sqrt{34}$m；
（2）欲使船航行距离最短，船航行速度与河岸所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$（或53°），渡河时间50 s．

点评 船渡河问题关键要记住最小位移渡河与最短时间渡河两种情况，时间最短与位移最短不会同时发生．