Question

14．如图所示，两根等高光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨电接触良好，求：
（1）棒到达最低点时的速度大小和通过电阻R的电流．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量．
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动到达ab
①请写出杆在运动过程中产生的瞬时感应电动势随时间t的变化关系？
②在杆到达ab的过程中拉力做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）金属棒在cd端时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出棒到达最低点时的速度．由E=BLv求出感应电动势，再由欧姆定律求通过R的电流．
（2）根据能量守恒定律求回路中产生的焦耳热．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式推导出电量表达式q=$\frac{△Φ}{R}$，来求通过R的电荷量．
（3）①棒沿轨道做匀速圆周运动，求出金属棒在运动过程中水平方向的分速度v_x，再由E=BLv_x求瞬时感应电动势．
②金属棒切割磁感线产生余弦交变电，求感应电动势的有效值，再由功能关系求拉力做的功．

解答 解：（1）棒在最低点，根据牛顿第二定律得
  N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由题得 N=2mg
可得 v=$\sqrt{gr}$
棒经过最低点时产生的感应电动势为 E=BLv=BL$\sqrt{gr}$
通过电阻R的电流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL}{R}$$\sqrt{gr}$
（2）整个过程中系统能量守恒得：
回路中产生的焦耳热 Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgr
根据法拉第电磁感应定律得：
  $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
感应电流的平均值 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
通过R的电荷量 q=$\overline{I}$△t
联立得 q=$\frac{△Φ}{R}$
又△Φ=BLr
所以可得 q=$\frac{BLr}{R}$
（3）①金属棒在运动过程中水平方向的分速度 v_x=v₀cosωt
又 v₀=ωr
金属棒切割磁感线产生的余弦交变电：e=BLv_x=BLv₀cos$\frac{{v}_{0}t}{r}$
②四分之一周期内，电流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$
由能量守恒得：拉力做的功 W=mgr+Q
由焦耳定律得 Q=I²R$\frac{T}{4}$
T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
解得：W=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$
答：
（1）棒到达最低点时的速度大小是$\sqrt{gr}$，通过电阻R的电流是$\frac{BL}{R}$$\sqrt{gr}$．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热是$\frac{1}{2}$mgr，通过R的电荷量是$\frac{BLr}{R}$．
（3）①杆在运动过程中产生的瞬时感应电动势随时间t的变化关系是e=BLv₀cos$\frac{{v}_{0}t}{r}$．
②在杆到达ab的过程中拉力做的功为mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，要正确分析能量是如何转化的，熟练推导出感应电荷量经验公式q=$\frac{△Φ}{R}$，要注意R是回路中总的电阻．