Question

（2008?四川）一倾角为θ=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板．在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点）．小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2．当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回．重力加速度g=10m/s²．在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

分析：先根据动能定理求解出第一次碰撞前的速度；根据动量定理得到第一次碰撞过程的冲量；再根据动能定理求解出第一次碰撞后上升的高度和返回后的速度；根据动量定理得到第二次碰撞过程的冲量；发现规律，求出前4次碰撞的总冲量．

解答：解：解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v．
由功能关系得mgh=

1

2

mv2+μmgcosθ

h

sinθ

①
以沿斜面向上为动量的正方向．按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量I=mv-m（-v）②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h′，则

1

2

mv2=mgh′+μmgcosθ

h′

sinθ

③
同理，有mgh′=

1

2

mv′2+μmgcosθ

h′

sinθ

④
I'=mv'-m（-v'）⑤
式中，v′为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量．由①②③④⑤式得I'=kI⑥
式中  k=

tanθ-μ tanθ+μ

⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为I1=2m

2gh0(1-μcotθ)

⑧
总冲量为I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)⑨
由   1+k+k2+…kn-1=

1-kn

1-k

  ⑩
得     I=

1-k4

1-k

2m

2gh0(1-μcotθ)

（11）
代入数据得     I=0.43(3+

6

)N?s              
答：在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是0.43(3+

6

)N?s．             
解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma①
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则v2=2a

h

sinθ

②
以沿斜面向上为动量的正方向．按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为I=mv-m（-v）③
由①②③式得I1=2m

2gh(1-μcotθ)

④
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a′，依牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma'⑤
小物块沿斜面向上运动的最大高度为h′=

v2

2a′

sinθ⑥
由②⑤⑥式得   h'=k²h⑦
式中   k=

tanθ-μ tanθ+μ

⑧
同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量I′=2m

2gh′(1-μcotθ)

⑨
由④⑦⑨式得 I'=kI⑩
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为I1=2m

2gh0(1-μcotθ)

（11）
总冲量为         I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)（12）
由   1+k+k2+…kn-1=

1-kn

1-k

（13）
得       I=

1-k4

1-k

2m

2gh0(1-μcotθ)

（14）
代入数据得     I=0.43(3+

6

)N?s                             （15）
答：在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是0.43(3+

6

)N?s．

点评：本题关键是分析清楚物体的运动规律，然后根据动能定理、动量定理列式求解出总冲量，最后化解出最简形式．