Question

15．2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星．某同学查阅了一些与地球、月球有关的数据资料并设计了以下两个问题．
（1）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径r．
（2）假设某宇航员乘登月飞船登陆月球后，在月球表面用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F₀已知月球半径为R_月，万有引力常量G．试求月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由万有引力公式和牛顿第二定律，列式求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）小球在月球表面做平抛运动，根据平抛运动规律求出月球上的重力加速度，代入万有引力公式可以求出月球的质量

解答 解：（1）月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
对地球表面上的物体，有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
联立解得r=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}$．
（2）设月球表面重力加速度为g_月，小球做平抛运动．飞行时间为t，则：h=$\frac{1}{2}$g_月t²，s=v₀t
对月球表面上质量为m的物体，有G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$=mg_月
故：M_月=$\frac{2h{R}_{月}^{2}{V}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的质量为$\frac{2h{R}_{月}^{2}{V}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$

点评 本题关键是根据万有引力提供向心力，由向心力公式和万有引力公式列式求解