Question

如图，在平面直角坐标系xoy内，第一象限的射线op与x轴夹角为30º，在∠pox范围之外存在垂直xoy面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、带电量为q的正电粒子，从o点以沿y轴负方向的速度v出发仅受磁场力而运动。试求：

（1）粒子离开o点后，第三次经过磁场边界时的位置坐标；
（2）粒子在磁场中运动的总时间；
（3）若保持其它条件不变而将∠pox变为15º，粒子出发之后将总共几次穿越磁场边界？

Answer 1

（1）（，）（2）（3）11次

试题分析：

（1）粒子在磁场中做圆周运动，如图为粒子运动轨迹描绘，
洛仑兹力提供向心力：    
得圆轨道半径
第一段圆弧轨迹OA为半圆，A点横坐标为2R
粒子再次由点B（2R，）进入磁场，进入磁场时与边界OP夹角θ₂=60º
粒子再次出磁场即第三次经过磁场边界在位置C，由几何关系
BC=2Rsinθ₂=
由此易得C点坐标（，），即（，）
（2）粒子在磁场中运动周期周期
粒子第一段圆弧OA圆心角180º，第二段圆弧BC圆心角为360º-2θ₂=240º
由几何关系，粒子第三次进入磁场时，速度与边界Ox夹角θ₃=30º，这也是粒子第三次出磁场时速度与边界Ox的夹角，因为∠Pox=α=30º，所以第三次出磁场后粒子速度与OP平行，不再能进入磁场。…………1分
容易求得粒子第三次在磁场中轨迹的圆心角为60º.
所以粒子在磁场中运动总时间为：
t== 
（3）每一次粒子进入磁场时速度与磁场边界夹角，与出磁场时速度与磁场边界夹角相等，如右图可看出：
θ_n+1=θ_n-α
其中θ_n为粒子第n次在磁场中运动过程中，进磁场或出磁场时其速度与磁场边界的夹角，可看出这个角度每次减小α，若第n次的θ_n减为0或者负值，则第n次圆周运动将不再发生。α为15º，θ₁为90º，因为：θ₁-6α=0
所以粒子只能在磁场中进行6次圆周运动，出发后穿越磁场边界的次数为11次