Question

5．一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为U₀的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片的区域MN=L，且OM=L．某次测量发现MN中左侧$\frac{2}{3}$区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧$\frac{1}{3}$区域QN仍能正常检测到离子，在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到．
（1）求原本打在MN中点P的离子质量m；
（2）为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围；
（3）为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数．（取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699）

Answer 1

分析 （1）离子先由电场加速，后进入磁场做匀速圆周运动．先根据动能定理求出电场加速获得的速度表达式，再由几何关系求出磁场中轨迹半径，由洛伦兹力等于向心力，列式求解离子的质量．
（2）由几何关系得到离子打在N点和Q点时的轨迹半径，由上式结果求解电压U的范围．
（3）运用归纳法，根据轨迹半径与电压的关系，得到调节电压U的次数表达式，再进行求解．

解答 解：（1）离子在电场中加速，由动能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
在磁场中做匀速圆周运动，则有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
解得：r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
代入r₀=$\frac{3}{4}$L解得：m=$\frac{9q{B}^{2}{L}^{2}}{32{U}_{0}}$
（2）由（1）中第①②两式知：U=$\frac{q{B}^{2}{r}^{2}}{2m}$
离子打在Q点，轨迹半径为：r=$\frac{5}{6}L$=$\frac{10}{9}$r₀，则有：U=$\frac{100{U}_{0}}{81}$
离子打在N点，轨迹半径为：r=L=$\frac{4}{3}$r₀，U=$\frac{16{U}_{0}}{9}$
则电压的范围为：$\frac{100{U}_{0}}{81}$≤U≤$\frac{16{U}_{0}}{9}$．
（3）由（1）知，r∝$\sqrt{U}$
由题意知，第1次调节电压到U₁，使原本打在Q点的离子打在N点，则 $\frac{L}{\frac{5}{6}L}$=$\frac{\sqrt{{U}_{1}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
此时，原本半径为r₁的打在Q₁的离子打在Q上，$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{1}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
解得 r₁=（$\frac{5}{6}$）²L
第2次调节电压到U₂，使原本打在Q₁的离子打在N点，原本半径为r₂的打在Q₂的离子打在Q上，则
  $\frac{L}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{2}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{2}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$
解得 r₂=（$\frac{5}{6}$）³L=$\frac{125}{216}L$
同理，第n次调节电压，有  r_n=（$\frac{5}{6}$）ⁿ⁺¹L
检测完整，有 r_n≤$\frac{L}{2}$
解得 n≥$\frac{lg2}{lg\frac{6}{5}}$-1≈2.8
故需要调节U的最少次数为3次．
另一种解法（第三次调节电压到U₃，使原本打到Q₂点的离子打到N点，有：$\frac{L}{（\frac{5}{6}）^{3}L}=\frac{\sqrt{{U}_{3}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，此时，设原本半径为r₃的打在Q₃的离子打在Q上，则$\frac{\frac{5}{6}L}{{r}_{3}}$=$\frac{\sqrt{{U}_{3}}}{\sqrt{{U}_{0}}}$，解得：r₃=$（\frac{5}{6}）^{4}L$=$\frac{625}{1296}L$＜$\frac{1}{2}L$，调节电压的次数最少为3次．）
答：（1）原本打在MN中点P的离子质量m为$\frac{9q{B}^{2}{L}^{2}}{32{U}_{0}}$；
（2）为使原本打在P的离子能打在QN区域，加速电压U的调节范围为 $\frac{100{U}_{0}}{81}$≤U≤$\frac{16{U}_{0}}{9}$；
（3）需要调节U的最少次数为3次．

点评 本题是动能定理和牛顿定律的综合题，解决本题的关键会运用几何知识和归纳法分析离子轨道半径变化的规律，灵活运用动能定律和牛顿第二定律解答．