Question

13．用不可伸长的细线悬挂质量为m的小球组成一套单摆，且在悬点正下方P点有颗钉子．已知O到球心距离L，OP为$\frac{3L}{4}$．现将小球向右拉起后由静止释放（最大偏角θ，且很小），之后小球在竖直平面内做往复振动．求：
（1）振动周期T；
（2）细线刚好碰上钉子时对小球的拉力F的大小．

Answer 1

分析 （1）小球完成一次全振动的时间叫做周期，结合单摆运动的对称性和周期性分析，注意摆长的变化．
（2）由动能定理求出细线刚好碰上钉子时小球的线速度，在最低点，根据向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）由单摆周期公式知，摆长为L的周期：T₁=$2π\sqrt{\frac{L}{g}}$，摆长为$\frac{1}{4}$L的周期：T₂=$2π\sqrt{\frac{\frac{1}{4}L}{g}}$=$π\sqrt{\frac{L}{g}}$
则振动周期$T=\frac{{T}_{1}}{2}+\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$
（2）由动能定理得：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v^2}$，
在最低点，根据向心力公式得：
$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{4}L}$
解得：F=9mg-8mgcosθ
答：（1）振动周期T为$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$；
（2）细线刚好碰上钉子时对小球的拉力F的大小为9mg-8mgcosθ．

点评 本题关键是明确周期的含义，注意摆长的变化从而导致周期的变化，然后根据单摆的周期公式列式求解，基础题．