Question

5．某人造地球卫星绕地球n圈所用时间为t，己知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 这颗人造地球卫星离地面的高度h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$
• B． 这颗人造地球卫星做圆周运动的线速度v=$\root{3}{\frac{2πgn{R}^{2}}{t}}$
• C． 地球的平均密度是ρ=$\frac{3π{n}^{2}}{G{t}^{2}}$
• D． 这颗人造地球卫星做圆周运动的角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$

Answer 1

分析 已知卫星绕地球n圈时间为t，可以求解周期；卫星的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在地面的物体的重力等于万有引力，根据万有引力定律列式；最后联立求解即可．

解答 解：A、某人造地球卫星绕地球n圈所用时间为t，故周期为T=$\frac{t}{n}$，
对卫星，万有引力提供向心力，故：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+h）$，
重力加速度：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
联立解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$，故A错误；
B、人造地球卫星做圆周运动的线速度v=$\frac{2π（R+h）}{T}$，
联立解得：v=2π$\root{3}{\frac{g{R}^{2}n}{4{π}^{2}t}}$，故B错误；
C、根据g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，有M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
故地球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πG}$，故C错误；
D、人造卫星的万有引力提供向心力，故：$G\frac{Mm}{r^2}=m{ω^2}r$，
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，故D正确；
故选：D

点评 本题是人造卫星类问题，卫星受万有引力提供向心力，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律列式分析，同时要记住重力加速度公式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．