Question

4．如图甲所示，半径为R=0.9m的光滑半圆形轨道固定于竖直平面内，最低点与水平面相切．水平面上有一质量为m=2kg的物体从A点以某一初速度向右运动，并恰能通过圆弧轨道的最高点C．物块与水平面间的动摩擦因数为μ，且μ随离A点的距离L按图乙所示规律变化，A、B两点间距L=1.9m（取g=10m/s²）．求
（1）物块经过最高点C时速度的大小；
（2）物块经过圆弧轨道最低点时对轨道压力的大小；
（3）物块在A点时的初速度．

Answer 1

分析 （1）对物块在C点应用牛顿第二定律即可求解；
（2）通过机械能守恒求得在B点的速度，然后再利用牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）通过图象求得摩擦力做的功，然后由动能定理求解初速度．

解答 解：（1）物块恰能通过圆弧轨道的最高点C，故由牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{gR}=3m/s$；
（2）物块在圆弧轨道上运动只有重力做功，故由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR=\frac{5}{2}mgR$，${v}_{B}=\sqrt{5gR}=3\sqrt{5}m/s$；
再对物块在B点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}+mg=6mg=120N$；
那么由牛顿第三定律可得：物块经过圆弧轨道最低点时对轨道压力的大小为120N；
（3）物块在AB上运动只有摩擦力做功，摩擦力f=μmg=20μ（N），故由图象可得：摩擦力做功${W}_{f}=-20×\frac{1}{2}（0.25+0.75）×1.9J=-19J$；
那么，由动能定理可得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，所以，${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}-\frac{2{W}_{f}}{m}}=8m/s$；
答：（1）物块经过最高点C时速度的大小为3m/s；
（2）物块经过圆弧轨道最低点时对轨道压力的大小为120N；
（3）物块在A点时的初速度为8m/s．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．