Question

6．设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面3R高处绕地球做匀速圆周运动，已知地面处的重力加速度为g，则（　　）

• A． 卫星的线速度为$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
• B． 卫星的角速度为 $\sqrt{\frac{g}{64R}}$
• C． 卫星的加速度为$\frac{g}{16}$
• D． 卫星的周期为2π$\sqrt{\frac{64R}{g}}$

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出线速度、角速度、周期、加速度等物理量．
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
又因为在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=gR²，所以$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$．
A、根据$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，其中r=3R+R=4R，所以$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{4R}}=\sqrt{\frac{gR}{4}}$，故A错误．
B、根据$ω=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，其中r=3R+R=4R，所以$ω=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（{4R）}^{3}}}=\sqrt{\frac{g}{64R}}$，故B正确．
C、根据$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，其中r=3R+R=4R，所以$a=\frac{g{R}^{2}}{16{R}^{2}}=\frac{g}{16}$，故C正确．
D、根据$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$，其中r=3R+R=4R，所以$T=2π\sqrt{\frac{（4R）^{3}}{g{R}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{64R}{g}}$，故D正确．
故选：BCD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．