Question

20．一种电子靶向治疗仪的内部有一段绝缘的弯管，由两段半径为R的$\frac{1}{4}$圆管和一段可伸缩调节的直管BC组成，弯管定位在竖直平面坐标系xoy上，治疗仪工作时可以根据需要给弯管空间施加上不同方向的匀强电场，用以控制具有放射性的药物小球，如图所示，现让一大小和管口吻合、带正电的药物小球从距离管口A正上方5R的位置自由下落，当小球进入管口时，治疗仪开始在整个空间施加匀强电场．忽略空气阻力和摩擦，小球可视为质点，质量为m带电量为q，请解答：
（1）若小球在管内运动过程中速度大小保持不变，求所加电场的场强大小和方向．
（2）调节BC长度值2.5R，若小球在管内运动过程中的速度逐渐减小，且小球脱离管口D时对圆管无作用力，脱离后小球做类平抛运动，求所加电场的场强大小和方向．
（3）若所加的电场如（2）中所述，求当BC分别取何值时小球与y轴的交点和管口A的距离有极值，并写出极值的区间范围．

Answer 1

分析 （1）根据平衡条件可求得电荷受到的电场力，则可求得电场强度大小；
（2）分别对水平方向和竖直方向进行分析； 竖直方向上根据平衡条件可求得电场强度的分量；再对水平方向根据动能定理可求得水平分量；再根据运动的合成和分解规律可求得合场强；
（3）分析电荷的运动过程，明确当到达出口速度为零时为极小值；再根据动能定理列式，根据数学规律可求得极大值．

解答 解：（1）要使速度不变，则物体受力平衡，
则有：mg=Eq
解得：E=$\frac{mg}{q}$；方向竖直向上；
（2）令电场的水平分量为E₁，竖直分量为E₂
根据题意可知，竖直方向处于平衡状态，则有：E₂=$\frac{mg}{q}$
球自由下落至A，根据动能定理：
5mgR=$\frac{1}{2}$mv²
得v²=10gR    （1）
对球从A至D，根据动能定理：
-q E₁（2R+2.5R）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²（2）
又有：q E₁=$\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$              （3）
由（1）（2）（3）得：E₁=$\frac{mg}{q}$
E=$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$； 方向：指向西北方向
（3）当球达D端出口速度v₁=0时，y有最小值0，设此时BC=x₁
根据动能定理：-q E₁ （2R+x₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv² 得：x₁=3R
设BC=x₂时y有最大值
-q E₁ （2R+x₂）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²
得：v₁=$\sqrt{6gR-2g{x}_{2}}$
水平方向有：2R+x₂=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$gt² 得：t=$\sqrt{\frac{4R+2{x}_{2}}{g}}$
y=v₁t=$\sqrt{（6R-2{x}_{2}）（4R+2{x}_{2}）}$≤$\frac{1}{2}$（6R-2x₂+4R+2x₂）
由数学规律可知：当x₂=0.5R时，y_m=5R
故：y∈[0，5R]
答：（1）所加电场大小为$\frac{mg}{q}$；方向竖直向上；
（2）所加电场的场强$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$； 指向西北方向；
（3）当BC为3R时有极小值；而当x₂=0.5R有极大值；极值的区间范围为y∈[0，5R]

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动以及动能定理等的应用，要注意明确物理过程，正确受力分析，再根据题意选择正确的物理规律求解；本题难点在于数学规律的应用，要掌握常用的极值的计算方法．