Question

19．如图所示，质量为m和M的物块用不可伸长的轻绳连接，且M=4m，M放在倾角为θ=30°的固定光滑斜面上，而m能沿杆在竖直方向滑动，杆和滑轮中心间的距离为$\sqrt{3}$m，求当m由A点静止开始下落1m时的速度多大？（轮、绳质量及各种摩擦均不计，结果保留最简根式，取g=10m/s²）

Answer 1

分析 本题的关键是：（1）M和m组成的系统机械能守恒，而M或m的机械能不守恒，（2）物体m上滑的位移为绳长OB与OA之差，再结合速度关系求解即可．

解答 解：由系统机械能守恒有：
$mgh-Mg△h=\frac{1}{2}mv_m^2+\frac{1}{2}Mv_M^2$
M上升的高度为：$△h=\frac{{（2-\sqrt{3）}}}{2}h$
设滑轮处为O点，
则tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠AOB=30°，再根据速度的分解，可知速度关系为：${v}_{M}={v}_{m}sin30°=\frac{1}{2}{v}_{m}$
解得${v_m}=\sqrt{\frac{{8mg-4（2-\sqrt{3）Mg}}}{4m+M}}=\sqrt{（2\sqrt{3}-3）g}=\sqrt{20\sqrt{3}-30}$m/s
答：当m由A点静止开始下落1m时的速度为$\sqrt{20\sqrt{3}-30}$m/s．

点评 遇到相互作用的系统问题，若没有摩擦阻力应用系统机械能守恒定律求解；对“牵连速度”问题，应记住“实际的速度是合速度”和“沿绳子方向的速度相等”的结论