Question

13．一平行板电容器的两个极板ab、cd正对竖直放置，如图所示，极板长为L．现有一电荷量大小为q、质量为m的带电质点P自紧靠ab板内侧的某点以大小为v的初速度竖直向上射出，然后以速度v从cd板的上端c处水平进入cd板右侧的正交电场、磁场中并恰好做匀速圆周运动；当带电质点P运动到cd板上小孔O处时，有另一带电质点Q由静止释放，P、Q两带电质点在小孔处发生正碰，已知Q的质量为$\frac{m}{3}$，碰撞前Q的电性与P相同且电荷量大小为$\frac{q}{2}$，碰撞时满足m_pv_p0=m_pv_p+m_Qv_Q，其中v_p0为质点P碰前速度，v_p、v_Q分别为p、Q碰后瞬间速度．碰撞后Q运动到ab板内侧的最下端b处时仍以大小为v的速度竖直离开电容器．忽略平行板电容器两端电场的边缘效应，重力加速度为g．求：
（1）电容器两板间的电场强度；
（2）磁场的磁感应强度大小；
（3）带电质点P最后离开平行板电容器时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）将带电质点P的运动分解为水平方向和竖直方向，根据运动学公式得出电场强度的大小．
（2）根据带电粒子在匀强磁场中的半径公式，结合几何关系得出半径的大小，从而求出磁感应强度的大小．
（3）结合动量守恒定律和运动学公式求出P、Q的电量和碰后的速度，根据P质点在电容器中的运动规律求出离开电容器的速度．

解答 解：（1）设P从出发点运动至c阶段运动的时间为t．其中水平加速度为a_x，则在水平方向上有：
：a_x=$\frac{qE}{m}$…①
v=a_xt=$\frac{qE}{m}$t…②
在竖直方向上有：0-v=-gt…③
t=$\frac{{v}_{0}}{g}$…④
联立①②③得：E=$\frac{mg}{q}$…⑤
（2）设电容器两极板间的距离为d．
对P从出发点至c阶段，在水平方向上有：d=$\frac{v+0}{2}$…⑥
联立④⑥解得d=$\frac{{v}^{2}}{2g}$…⑦
设在正交电场、磁场中质点P做匀速圆周运动的半径为R，则
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{mv}{qB}$…⑧
又2R+d=l…⑨
联立⑦⑧⑨得：B=$\frac{4mgv}{q（2gl-{v}^{2}）}$
（3）设P、Q碰撞后的速度分别为v₁、v₂．
由动量守恒定律得，mv=mv₁+$\frac{m}{3}$v₂
设碰撞后P、Q带电量大小分别为q₁、q₂，则q₁+q₂=$\frac{3}{2}$q
碰撞后Q在水平方向上有：d=$\frac{{v}_{2}+0}{2}$t
可得：v₂=v  v₁=$\frac{2}{3}$v
0-v₂²-2$\frac{{q}_{2}E}{\frac{m}{3}}$d
得：q₁=$\frac{7}{6}$q  q₂，=$\frac{q}{3}$
则碰撞后P在水平方向上的加速度a_x=$\frac{{q}_{1}E}{m}$=$\frac{7}{6}$g
它在电容器中间运动的时间仍为t，设P射出电容器时其水平速度为v_x，
则v_x=v₁-a_xt=-$\frac{1}{2}$v
则P射出电容器时的速度为v_p，
v_p=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{v}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$v．
答：（1）电容器两板间的电场强度为$\frac{mg}{q}$．
（2）磁场的磁感应强度大小为$\frac{4mgv}{q（2gl-{v}^{2}）}$．
（3）带电质点P最后离开平行板电容器时的速度大小为$\frac{\sqrt{5}}{2}$v．

点评 本题综合考查了动量守恒定律和运动学公式，关键理清质点的运动情况，选择合适的公式进行求解，注意运动学公式的灵活运用．