Question

20．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t．登月后，宇航员利用身边的弹簧秤测出质量为m的物体重力G₁，已知引力常量为G，则月球的平均密度为$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；根据以上信息能否求出月球的第一宇宙速度？能（选填“能”或“不能”）．

Answer 1

分析 飞船绕行n圈所用的时间为t，其周期为$T=\frac{t}{n}$，${G}_{1}^{\;}=mg$，可得到月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$和万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$求出月球的密度和月球的第一宇宙速度．

解答 解：设月球的半径为R，月球的质量为M，
$g=\frac{{G}_{1}^{\;}}{m}①$
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg=mR（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$②
宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t，$T=\frac{t}{n}$③
由①②③式得，$R=\frac{{G}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}m}$
月球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{3π}{G（\frac{t}{n}）_{\;}^{2}}$=$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{G}_{1}^{\;}}{m}×\frac{{G}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}m}}$=$\frac{{G}_{1}^{\;}t}{2πmm}$，故能求出月球上的第一宇宙速度
故答案为：$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$       能

点评 解决本题的关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有引力，由万有引力提供向心力并知道向心力的线速度、角速度、周期的表达式