Question

（2012?昌平区二模）1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图（甲）所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，初速度为0，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t和粒子获得的最大动能E_km；

（3）近年来，大中型粒子加速器往往采用多种加速器的串接组合．例如由直线加速器做为预加速器，获得中间能量，再注入回旋加速器获得最终能量．n个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图（乙）所示（图中只画出了六个圆筒，作为示意）．各筒相间地连接到频率为f、最大电压值为U的正弦交流电源的两端．整个装置放在高真空容器中．圆筒的两底面中心开有小孔．现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间的缝隙处受到电场力的作用而加速（设圆筒内部没有电场）．缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计．已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v₁，且此时第一、二两个圆筒间的电势差U₁-U₂=-U．为使打到靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量．

Answer 1

分析：（1）由动能定理可以求出粒子在电场中加速而获得的速度，由牛顿第二定律可以求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径．
（2）求出粒子加速的次数，然后求出粒子获得的最大动能；求出粒子做圆周运动的周期，然后求出粒子总的运动时间．
（3）由动能定理可以求出筒的长度与粒子获得的动能．

解答：解：（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁，
粒子在电场中加速，由动能定理得：qU=

1

2

mv₁²，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qv₁B=m

v 2 1

r1

，
解得：r1=

1

B

2mU q

；
同理可得，粒子第2次经过狭缝后的半径r2=

1

B

2m?2U q

则r₁：r₂=1：

2

；
（2）粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次．
设粒子到出口处被加速了n次，由动能定理得：nqU=

1

2

m

v

2 m

，
由牛顿第二定律得：qv_mB=m

v 2 m

R

，解答：v_m=

qBR

m

，n=

qB2R2

2mU

，
带电粒子在磁场中运动的周期为T=

2πm

qB

，
粒子在磁场中运动的总时间t=

n

2

T=

πBR2

2U

，
所以，粒子获得的最大动能E_km=

1

2

m

v

2 m

=

q2B2R2

2m

；
（3）为使正离子获得最大能量，要求离子每次穿越缝隙时，前一个圆筒的电势比后一个圆筒的电势高U，
这就要求离子穿过每个圆筒的时间都恰好等于交流电的半个周期．由于圆筒内无电场，离子在筒内做匀速运动．
设v_n为离子在第n个圆筒内的速度，第n个圆筒的长度为Ln=vn?

T

2

=

vn

2f

，

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 1

=(n-1)qU，
解得：vn=

2(n-1)qU m + v 2 1

，第n个圆筒的长度应满足条件Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
打到靶上的离子的能量为

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）；
答：（1）粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为1：

2

．
（2）粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t=

πBR2

2U

，粒子获得的最大动能E_km=

q2B2R2

2m

；
（3）为使获得最大能量，各个圆筒的长度应满足条件是：Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
在这种情况下打到靶上的离子的能量为

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）．

点评：回旋加速器中的电场起加速作用，磁场起偏转作用；电场的周期应与粒子做圆周运动的周期相等．