Question

如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求：
（1）a球在最高点速度．
（2）b球在最高点速度．
（3）a、b两球落地点间的距离．

Answer 1

分析：（1）a球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为3mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出a球在最高点速度．
（2）b球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0.75mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出b球在最高点速度．
（3）两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，a、b两球落地点间的距离等于位移之差．

解答：解：
（1）以a球为对象，设其到达最高点时的速度为v_a，根据向心力公式有：
         mg+Fa=m

v 2 a

R

    又F_a=3mg  
    代入解得va=2

gR

（2）以b球为对象，设其到达最高点时的速度为v_b，根据向心力公式有
         mg-Fb=m

v 2 b

R

  
        又F_b=0.75mg   即

1

4

mg=m

v 2 b

R

    所以   vb=

1

2

gR

（3）a、b两球脱离轨道的最高点后均做平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为：
      sa=vat=2

gR

×

4R g

=4R
      sb=vbt=

1

2

gR

×

4R g

=R
故a、b两球落地点间的距离△s=s_a-s_b=3R．
答：（1）a球在最高点速度va=2

gR

．
    （2）b球在最高点速度vb=

1

2

gR

．
    （3）a、b两球落地点间的距离是3R．

点评：本题是向心力知识和平抛运动的综合应用，常规题，考试时不能失误．